Limite de f intégrable ainsi que f'

Merci à Skyffer3

Merci de ton aide : (effectivement le théorème fondamental ne suppose pas la dérivée continue).

Comme $f'\in\mathcal{L}^1(\mathbb{R}),\;\;\forall \varepsilon >0\;\;\exists A>0$ tel que $ x$ et $y\geq A\;\;\Rightarrow \left|f(y)-f(x)\right|=\left | \displaystyle\int_x^yf'(t)\mathrm{d}t \right|\leq \displaystyle\int_x^y\left|f'(t)\right|\mathrm{d}t<\varepsilon$.


Soit une suite $(x_n)_{n\in \mathbb {R}}$ de réels tendant vers $+\infty$. Il existe $n_0\in\mathbb {N}$ tel que $n>n_0\Rightarrow x_n\geq A$. Donc $p$ et $q\;>n_0\;\Rightarrow |f(x_p)-f(x_q)|<\varepsilon $. La suite $(f(x_n))$ est une suite de Cauchy, ce qui montre que $f(x)$ a une limite finie quand $x\to+\infty$. Si cette limite n'était pas $0$, la fonction $f$ ne pourrait appartenir à $\mathcal L^1$.