Transformée de Fourier
dans Analyse
Bonjour,
Calculer la transformée de Fourier des fonctions suivantes (définition $\int_{\mathbb{R}} u(t) e^{-itx} dt$) :
a) $(2-|x|)1_{[-2,2]}$
b) $\dfrac{1}{x^2+4x+13}$
c) $\dfrac{\sin(x)}{1+9x^2}$
J'ai seulement réussi la a).
$\int_{\mathbb{R}} (2-|x|) 1_{[-2,2]} e^{-itx} dx = \int_{-2}^0 (2+x) e^{-itx} dx + \int_0^2 (2-x)e^{-itx} dx = \dfrac{4 \sin^2(t)}{t^2}$.
Pour les deux autres, j'ai un petit souci.
Je ne vois pas comment décomposer b) pour pouvoir en calculer la transformée de Fourier. La décomposition en éléments simples me semble complexe, il doit y avoir un moyen plus simple ?
Quelqu'un pourrait m'aider ?
Merci d'avance
Calculer la transformée de Fourier des fonctions suivantes (définition $\int_{\mathbb{R}} u(t) e^{-itx} dt$) :
a) $(2-|x|)1_{[-2,2]}$
b) $\dfrac{1}{x^2+4x+13}$
c) $\dfrac{\sin(x)}{1+9x^2}$
J'ai seulement réussi la a).
$\int_{\mathbb{R}} (2-|x|) 1_{[-2,2]} e^{-itx} dx = \int_{-2}^0 (2+x) e^{-itx} dx + \int_0^2 (2-x)e^{-itx} dx = \dfrac{4 \sin^2(t)}{t^2}$.
Pour les deux autres, j'ai un petit souci.
Je ne vois pas comment décomposer b) pour pouvoir en calculer la transformée de Fourier. La décomposition en éléments simples me semble complexe, il doit y avoir un moyen plus simple ?
Quelqu'un pourrait m'aider ?
Merci d'avance
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Réponses
La $c)$ est du même genre... Il suffit de passer en notation complexe.
Intermède : je te suggère de calculer la transformée de Fourier de $x\mapsto \frac1{1+x^2}$. Une façon de faire, c'est d'intégrer sur un contour comprenant le segment $[-R,R]$ et un demi-cercle qui a ce segment pour diamètre. L'intégrale sur le demi-cercle tend vers $0$ quand $R$ tend vers l'infini, il ne reste que le résidu en $\mathrm{i}$ qui est facile à calculer.
Pour la deuxième, remarque que le dénominateur est $(x+2)^2+3^2$, qui se ramène par changements de variables affines à $1+u^2$.
Quant à la troisième, ça va être pareil à très peu de choses près : le $\sin x$ au dénominateur est (à $2\mathrm{i}$ près) une somme de deux exponentielles qui vont induire un déphasage : $\int_\R\newcommand\e{\mathrm{e}}\newcommand{\im}{\mathrm{i}}\e^{\im x}f(x)\e^{-\im x\xi}\mathrm{d}x=\int_\R f(x)\e^{-\im(\xi-1)x}\mathrm{d}x$).
Avec $u(x) = e^{-|x|}$, alors $\widehat{u(t)} = \dfrac{2}{t^2+1}$ (si je ne me trompe pas).
La formule d'inversion de mon cours me dit que $\widehat{\widehat{u(-t)}} = 2\pi u(t)$, soit $\widehat{\dfrac{2}{t^2+1}} = 2\pi e^{-|t|}$.
Donc $\widehat{\dfrac{1}{t^2+1}} = \pi e^{-|t|}$.
Par contre je n'ai pas bien compris le changement de variables proposé
On demande la transformée de Fourier de:
\[\frac{1}{x^2+4x+13} = \frac{1}{(x+2)^2+9}.\]
Un changement de variable affinte \(t=ax+b\) permet de se ramener à la transformée de Fourier de \(1/(x^2+1)\).