Transformée de Fourier

Perfectinette
Perfectinette
dans Analyse
Bonjour,

Calculer la transformée de Fourier des fonctions suivantes (définition $\int_{\mathbb{R}} u(t) e^{-itx} dt$) :

a) $(2-|x|)1_{[-2,2]}$

b) $\dfrac{1}{x^2+4x+13}$

c) $\dfrac{\sin(x)}{1+9x^2}$

J'ai seulement réussi la a).
$\int_{\mathbb{R}} (2-|x|) 1_{[-2,2]} e^{-itx} dx = \int_{-2}^0 (2+x) e^{-itx} dx + \int_0^2 (2-x)e^{-itx} dx = \dfrac{4 \sin^2(t)}{t^2}$.

Pour les deux autres, j'ai un petit souci.
Je ne vois pas comment décomposer b) pour pouvoir en calculer la transformée de Fourier. La décomposition en éléments simples me semble complexe, il doit y avoir un moyen plus simple ?
Quelqu'un pourrait m'aider ?
Merci d'avance

Réponses

  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    Pour le $b),$ à un changement de variables près, l'intégrande est du type $\displaystyle \frac{1}{1+x^{2}}$ et ensuite, il suffit de connaitre la transformée de Fourier inverse de cette fonction (essentiellement $exp(-\vert x\vert ).$
    La $c)$ est du même genre... Il suffit de passer en notation complexe.
  • Math Coss
    Math Coss
    Sur $\R$, les deux fractions sont déjà décomposées en (un) élément simple. Pas la peine d'aller sur $\C$ au risque de perdre l'intégrabilité (par exemple, $\int_\R\left|\frac{1}{x-\mathrm{i}}\right|\mathrm{d}x=+\infty$).

    Intermède : je te suggère de calculer la transformée de Fourier de $x\mapsto \frac1{1+x^2}$. Une façon de faire, c'est d'intégrer sur un contour comprenant le segment $[-R,R]$ et un demi-cercle qui a ce segment pour diamètre. L'intégrale sur le demi-cercle tend vers $0$ quand $R$ tend vers l'infini, il ne reste que le résidu en $\mathrm{i}$ qui est facile à calculer.

    Pour la deuxième, remarque que le dénominateur est $(x+2)^2+3^2$, qui se ramène par changements de variables affines à $1+u^2$.

    Quant à la troisième, ça va être pareil à très peu de choses près : le $\sin x$ au dénominateur est (à $2\mathrm{i}$ près) une somme de deux exponentielles qui vont induire un déphasage : $\int_\R\newcommand\e{\mathrm{e}}\newcommand{\im}{\mathrm{i}}\e^{\im x}f(x)\e^{-\im x\xi}\mathrm{d}x=\int_\R f(x)\e^{-\im(\xi-1)x}\mathrm{d}x$).
  • Perfectinette
    Perfectinette
    Merci pour vos réponses !

    Avec $u(x) = e^{-|x|}$, alors $\widehat{u(t)} = \dfrac{2}{t^2+1}$ (si je ne me trompe pas).
    La formule d'inversion de mon cours me dit que $\widehat{\widehat{u(-t)}} = 2\pi u(t)$, soit $\widehat{\dfrac{2}{t^2+1}} = 2\pi e^{-|t|}$.

    Donc $\widehat{\dfrac{1}{t^2+1}} = \pi e^{-|t|}$.

    Par contre je n'ai pas bien compris le changement de variables proposé :(
  • Dom
    Dom
    On peut penser à : $x^2+4x+13=(x+2)^2+9$ puis normaliser.
  • gb
    gb
    Bonjour,

    On demande la transformée de Fourier de:
    \[\frac{1}{x^2+4x+13} = \frac{1}{(x+2)^2+9}.\]
    Un changement de variable affinte \(t=ax+b\) permet de se ramener à la transformée de Fourier de \(1/(x^2+1)\).
  • Perfectinette
    Perfectinette
    Ah ok merci à vous, j'ai compris :)
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