Coordonnées polaires et Fubini

Rebonjour à tous,

a) Calculer l'intégrale $I(R) = \int_{B(0,R)} e^{-\pi (x^2+y^2)} d \lambda (x,y)$ à l'aide des coordonnées polaires où $B(0,R) = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+y^2 \leq R^2 \}$.
b) En utilisant le théorème de convergence monotone et a), montrer que $\int_{\mathbb{R}^2} e^{-\pi (x^2+y^2)} = 1$.
c) A partir de b) et du théorème de Fubini, montrer que l'on a bien $\int_{\mathbb{R}} e^{-\pi x^2} dx = 1$.

Pour la a), j'ai introduit $\Phi : ]0,R] . [0,2\pi[ \rightarrow B(0,R)$
$(r, \theta) \rightarrow (r \cos \theta, r \sin \theta)$.

Le déterminant de la matrice Jacobienne est $r$.

$\int_{B(0,R)} e^{-\pi (x^2 + y^2)} dxdy = \int_{]0,R].[0,2\pi[} re^{-\pi r^2} dr d\theta = \int_{]0,R]} \int_{[0,2\pi[} re^{-\pi r^2} d \theta dr = 1-e^{-\pi R^2}$.

b) Je ne vois pas bien comment faire ici !
On a clairement $1-e^{-\pi R^2} \rightarrow_{R \rightarrow +\infty} 1$ mais je ne vois pas comment utiliser la convergence monotone ici.

Quelqu'un pourrait m'aider et me dire si la a) est juste ?