Formule sommatoire de Poisson

jsvdb · April 2018

Bonjour B-)

On considère la fonction définie sur $\mathbb R$ par $g(x) = (1-|x|)\mathbb1_{[-1:1]}(x)$.
On demande d'appliquer la formule sommatoire de Poisson à la fonction $g$ pour montrer que :
$\begin{aligned}\forall x \in \mathbb R\setminus \mathbb Z,\ \sum_{k\in \mathbb Z} \dfrac{1}{(x+k)^2} = \Big(\dfrac{\pi}{\sin (\pi x)}\Big)^2
\end{aligned}$
N.B. : j'utilise la transformée de Fourier $\begin{aligned}\widehat f(\xi) = \int_{\mathbb R} f(x)e^{-ix\xi}dx \end{aligned}$
Je dois louper un truc simple :-S et vos indications me seront précieuses X:-(
Je vous remercie par avance.

gebrane · April 2018

Il suffit de prouver que $\quad\displaystyle \hat{g}(\xi)=\Big(\frac{\sin(\pi \xi)}{\pi \xi}\Big)^{2}$

edit Indication de plus, tu appliques la formule http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~flemonni/agregation/developpements/Sommatoire_Poisson.pdf ($g$ est paire., on permute $g$ et $\hat g$.)

$\displaystyle\sum_{n\in\Z}\hat g(x+n)=\sum_{n\in\Z}g(n)e^{2\pi inx}$ puis remarquer que $\displaystyle \sum_{n\in\Z}g(n)e^{2\pi inx}=g(0)=1.$