Exercice résidu en l'infini

A priori on demande de vérifier la formule à $z^n$, i.e montrer que $\int_{a}x^ndx = -Res(g,\infty)$. Sans calculer $ Res(g,\infty) $, je vois pas comment faire ...

Ou peut-être que c'est possible.

Si $h(z) = Log(\frac{z-a}{z-b})$ alors $h(\frac{1}{z}) = Log(\frac{1-az}{1-bz})$. C'est de là que ça vient. Je cherche la suite. Merci

Du coup étant donné que je développe la fonction $\frac{-1}{z^{n+2}}Log(\frac{1-az}{1-bz}) $ en Laurent sur la couronne $D(0,\frac{1}{R'})$ privé de $0$, l'identité précédente est valable ( quitte à rétrécir le rayon de D ), donc $\frac{-1}{z^{n+2}}Log(\frac{1-az}{1-bz}) = \sum \limits_{1}^{\infty} (\frac{a^k-b^k}{k})z^{k-(n+2)}$ , d'où le résultat ?

Merci pour ton aide.

Je reviens juste pour une précision. Si je reprends l'idée, $Log$ désignant toujours la détermination principale du logarithme ( avec argument dans $]-\pi;\pi[$ ), alors l'égalité $Log(xy) = Log(x) + Log(y)$ est valable sur n'importe quel domaine $U$ ouvert n'intersectant pas $\mathbb{R}_{-}$ tel que $\forall x,y\in U, xy \notin \mathbb{R}_{-}$ ??

Mais alors si c'est vrai comment le démontrer, puisque un tel domaine $U$ peut ne pas intersecter l'axe réel, et la démonstration faite plus haut n'est plus faisable ? A moins de prolonger le domaine de la fonction pour avoir une intersection avec un intervalle réel et pouvoir faire le raisonnement suivant ( je tente ma chance ):

Soit $y$ fixé appartenant à $U$ domaine ouvert connexe de $\mathbb{C}$ n'intersectant pas $\mathbb{R}_{-}$, contenant un intervalle non réduit à un point de $\mathbb{R}_{+}$ et tel que $\forall x \in U, xy \notin \mathbb{R}_{-} $. Alors la fonction $f(x) = Log(xy) -( Log(x) + Log(y) ) $ est définie holomorphe sur $U$ et constante égale ( = 0 ) sur $\mathbb{R}_{+}\cap U$, donc par principe des zéros isolés, on a l'égalité sur tout $U$.

Bon ça fait beaucoup de conditions sur $U$, mais pour moi c'est bon. Du coup si maintenant j'ai un domaine $U$ vérifiant les mêmes hypothèses sauf celle d'intersecter un intervalle de $\mathbb{R}_{+}$, il me semble assez évident qu'on peut toujours prolonger la fonction $f$ sur un domaine $U'$ intersectant $\mathbb{R}_{+}$, et donc obtenir le théorème suivant via l'unicité du prolongement analytique:

Soit $U$ domaine ouvert connexe de $\mathbb{C}$ n'intersectant pas $\mathbb{R}_{-}$ et tel que $\forall x,y \in U, xy \notin \mathbb{R}_{-} $. Alors $ Log(xy) = ( Log(x) + Log(y) ), \forall x,y \in U $.