Égalités à partir de transformées de Fourier

Perfectinette
Perfectinette
dans Analyse
Calculer la transformée de Fourier de $f(x) = e^{-a|x|}$.
En déduire $\int_{\mathbb{R}} \dfrac{1}{(a^2+t^2)^2} dt = \dfrac{\pi}{2a^3}$, ainsi que $\int_{\mathbb{R}} \dfrac{1}{(a^2+t^2)(b^2+t^2)} dt = \dfrac{\pi}{ab(a+b)}$ (on a $a, b >0$)

Alors là franchement je sèche !

J'ai trouvé la transformée de Fourier $\widehat{f}(t) = \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-itx} dx = \dfrac{2a}{a^2+t^2}$.

Avec la formule d'inversion, on a $ \int_{\mathbb{R}} \dfrac{1}{a^2+t^2} e^{itx} dt = \dfrac{\pi}{a} e^{-a|x|}$, et à partir de là je cale, je ne vois pas comment m'en sortir ! Avez-vous une idée ?

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Une proposition (il y a peut-être mieux à faire). En prenant $x=0$, on a déjà quelque chose.
    Si $a\ne b$, on peut remarquer que $\dfrac{1}{(t^2+a^2)(t^2+b^2)}=\frac{?}{t^2+a^2}+\frac{?}{t^2+b^2}$.
    On peut fixer $a$ et justifier un passage à la limite lorsque $b$ tend vers $a$.
  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    Dérive l'expression obtenue par rapport à $a$ et évalue en $x=0$ ou utilise Plancherel au choix.
    La formule $1$ est équivalente à la formule $2$ par polarisation (il faut reconnaître un "bon" produit scalaire).
  • Perfectinette
    Perfectinette
    En utilisant Plancherel, je trouve :

    $||f||_2 = ||\widehat{f}||_2$ donc $\int e^{-2a|x|} dx = \int \dfrac{4a^2}{(a^2+x^2)^2} dx$ ce qui implique $\dfrac{1}{a} = 4a^2 \int \dfrac{1}{(a^2+t^2)^2} dt$.
    Il me manque un $2\pi$ au numérateur...

    Edit : Avec la dérivée ça marche !
  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    le $2\pi$ vient du fait que la normalisation de la TF que tu as prise fait que la TF est presque une isométrie (à ce facteur manquant près ^^).
  • Cyrano
    Cyrano
    Pour le problème avec $a$ et $b$, l'intégrande est le produit de deux transfos de Fourier.
    Donc il s'agit de la [large]F[/large]ourier du produit de convolution. L'intégrale sur $\R$ quant à elle peut être vue (à $2\pi$ près) comme la Fourier inverse en $0$.
    Autrement dit, tu dois simplement calculer le produit de convolution en $0$ de $f_a(x) = e^{-a|x|}$ et $f_b(x) = e^{-b|x|}.$

    [En toute occasion Joseph Fourier (1768-1830) prend une majuscule. AD]
  • Perfectinette
    Perfectinette
    Merci beaucoup !!
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