Paire ou non ?

Paire grâce aux propriétés des plynômes de Bernouilli...
Cf : https://fr.wikipedia.org/wiki/Polynôme_de_Bernoulli

On prend $x=0$ (dans le lien) pour avoir
\begin{align*}
\frac{t}{e^{t}-1}& =\sum\limits_{k\geq 0} B_{k}(0)\frac{t^{k}}{k!}\\
& = \sum\limits_{k\geq 0}B_{2k}(0)\frac{t^{2k}}{(2k)!}-\frac{t}{2} \mbox{ car } B_{1}(0)=-\frac{1}{2} \mbox{ et } \forall k\geq 1,\mbox{ } B_{2k+1}(0)=0.
\end{align*}