La définition alternative de l'analycité
Salut
Pour qu'une fonction $ f $ soit analytique dans un ouvert $\Omega$ il suffit que pour tout compact $K \subset \Omega$, il existe une constante $c>0$ telle que $$
\sup_K|f^{(n)}(x)| \leq c^{n+1}n!, \quad \forall n \in \mathbb{N}.
$$ Pourriez-vous me recommander des références pour la démonstrations svp ?
Merci beaucoup d'avance.
Pour qu'une fonction $ f $ soit analytique dans un ouvert $\Omega$ il suffit que pour tout compact $K \subset \Omega$, il existe une constante $c>0$ telle que $$
\sup_K|f^{(n)}(x)| \leq c^{n+1}n!, \quad \forall n \in \mathbb{N}.
$$ Pourriez-vous me recommander des références pour la démonstrations svp ?
Merci beaucoup d'avance.
Réponses
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Autrement dit en tout point $x$ de $ \Omega$ la série de Taylor de $f$ a un rayon de convergence $c(x)$ non nul ...
PS ... et ce rayon de convergence est localement borné inférieurement par une constante strictement positive. -
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Il me semble que ce théorème porte le nom de théorème de Pringsheim.
Voici une référence (qui utilise un résultat sur les fonctions absolument monotones : Théorème de Bernstein, on peut s'en passer mais c 'est un peu plus technique...)
http://www.ams.org/journals/bull/1935-41-04/S0002-9904-1935-06049-5/S0002-9904-1935-06049-5.pdf
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