Inégalité

C'est dur, c'est l'inegalite de Hilbert. Soit $P(x)=\sum_na_nx^n.$ Soit $f(t)=ie^{-it}(\pi-t)$ qui est de module $\leq \pi$ sur $[0,2\pi].$ Alors
$$\int_0^1P(x)^2dx=\sum_{n,m}\frac{a_na_m}{n+m+1}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}P(e^{it})^2f(t)dt\leq \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}|P(e^{it})|^2dt=\pi\sum_na_n^2.$$

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