Maximiser une intégrale

Ton énoncé est extrêmement imprécis :
- il faut sans doute comprendre que $x$ est une fonction de $t$.
- il faut sans doute comprendre que l'intégrale dont tu parles fait varier $t$ entre 0 et 1.
- il faut sans doute comprendre que tu souhaites maximiser ton expression parmi l'ensemble des fonctions $x$ suffisamment dérivables sur le segment $[0,1]$ et vérifiant les conditions aux limites que tu as données.

Ensuite, une fois que tu auras clarifié ces points, il serait bon que tu appliques correctement ton cours sur l'optimisation lagrangienne (puisque, apparemment, c'est de cela qu'il s'agit).

Eh bien ! Sacré énoncé ! Là, il faut faire appel à un expert de la maîtrise de l'implicite !

Oui, c'est juste un peu lapidaire. Espérons que le cours soit plus explicite...

Pour le premier exercice, tu trouves comme équation : $x=\ddot{x}$. Il faut interpréter cela comme une équation différentielle portant sur la fonction $x$ (deux fois dérivable au moins) : on veut que pour tout $t$, $x(t)=\ddot{x}(t)$. Une solution célèbre, c'est l'exponentielle : si $x(t)=\newcommand{\e}{\mathrm{e}}\e^t$, alors $\dot{x}(t)=\e^t$ et $\ddot{x}(t)=\e^t$ aussi. Il y en a d'autres et je suis sûr que tu peux toutes les décrire, cela fait apparaître deux constantes. Puis on ajoute la contrainte portant sur les conditions initiales $x(0)$ et $x(1)$, ce qui détermine les deux constantes.

Dans l'autre exercice, il y a deux énoncés concurrents : tu t'es lancé.e dans des calculs avec $2tx+3x\dot{x}+\dot{x}^2$ mais le scan que tu as posté parle de $3tx+2x\dot{x}+\dot{x}^2$. On aboutit dans les deux cas à une équation de la forme $\ddot{x}=\alpha t$ qu'il faut résoudre ($\alpha$ dépend de l'énoncé que tu choisis). Dans un premier temps, il faut trouver toutes les fonctions $x$ d'une variable $t$ dont la deuxième dérivée vaut : $\ddot{x}(t)=\alpha t$ pour tout $t$. C'est encore plus facile que l'exemple précédent, il suffit d'intégrer deux fois. Puis on ajoute la contrainte supplémentaire $x(0)=1$, $x(1)=2$.

Pour l'équation $x=x''$ une des solutions serait donc $x(t) = e^t + K_1t + K_2$ ?
Du coup je ne comprends pas pourquoi ce serait $ae^x+be^{-x}$

La dérivée seconde de $e^t + K_1t + K_2$ est elle égale à $e^t + K_1t + K_2$ ?
Je me suis trompé plus haut en nommant $x$ la variable (mauvaise habitude). J'ai rectifié, regarde.

OK x 3.

Bonjour,

Cette question me rappelle une question bonus ( hors barème) dans un Control: Minimiser la fonctionnelle $J$ où $$J(x)=\int_a^b \sqrt{1+(x'(t))^2}dt$$ en utilisant un argument purement géométrique.

Avec Euler-Lagrange , je tombe sur $x''=0$ mais la façon géométrique !?

Merci Math Cross, pourquoi je n ' y avais pas pensé!;
le chemin le plus court entre deux points A et B est le segment de droite [A,B]

Bonjour,

Pour maximiser : \(V=\int_0^1 (x^2+2tx\dot x+\dot x^2)\,dt\) avec les conditions aux limites : \(x(0)=1\) et \(x(1)=2\), on pose
\(F(t,x,\dot x)=x^2+2tx\dot x+\dot x^2\), d'où:
\begin{align} F_x'&=2x+2t\dot x & F_{\dot x}'&=2tx+2\dot x \end{align}
mais que fournit la dérivation par rapport à \(t\) :
\begin{align} \frac{dF_{\dot x}'}{dt}&=2t\dot x+2\ddot x\ ? & \frac{dF_{\dot x}'}{dt}&=2x+2t\dot x+2\ddot x\ ? \end{align}
Quell est alors la bonne condition : \(\ddot x=x\) ou \(\ddot x=0\) ? Suivant la réponse on obtient :
\begin{align} x_1&=\frac{2e-1}{e^2-1}e^t+\frac{e^2-2e}{e^2-1}e^{-t} & x_2&=t+1 \end{align}
et (sauf erreur de calcul) les valeurs des intégrales :
\begin{align} V(x_1)&=\frac{13e^4-16e^3+4e^2+3}{2(e^2-1)^2}\approx5,16 & V(x_2)&=5 \end{align}
mais, en remarquant que \(x=t^n+1\) satisfait les conditions aux limites pour tout entier naturel \(n\) non nul, on obtient les valeurs suivantes :
\begin{align}
x&=t^3+1 & V&=\frac{29}{5}=5,8\\
x&=t^{10}+1 & V&=\frac{176}{19}\approx9.26\\
x&=t^{100}+1 & V&=\frac{10796}{199}\approx54,25\\
x&=t^{1000}+1 & V&=\frac{1007996}{1999}\approx504,25
\end{align}
Y a-t-il vraiment un maximum ?

Vous avez raison !
La dérivée par rapport à $t$ de $F'_{\dot x}$ est bien $\dfrac{\mathrm{d}F_{\dot x}'}{\mathrm{d}t}=2x+2t\dot x+2\ddot x$, ce qui conduit à l'équation différentielle $\ddot{x}=0$.
Il n'y a pas de maximum puisque suivant la suggestion de gb, pour $x(t)=t^n+1$, on trouve : $V=\dfrac{n^2+8n-4}{2n-1}$.
L'équation d'Euler-Lagrange caractérise les points stationnaires sans décider s'il s'agit de maxima, de minima ou ni l'un ni l'autre.

M'enfin ! Si la dérivée seconde \(\ddot x\) est nulle, alors la dérivée première \(\dot x\) est constante, et la fonction \(x\) est polynomiale du premier degré.

Oui, sans problème : en écrivant $x(t)=1+t+y(t)$ avec $y(0)=y(1)=0$, on voit (avec un peu d'intégration par parties) que
$$\int_0^1(x(t)^2 + 2tx(t)x'(t) + x'(t)^2)\,dt=5+\int_0^1 y'(t)^2\,dt\;.$$