Majoration : $\sum\frac 1{n^2} <2$

Ou bien
$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \leqslant \int_1^n \frac{\textrm{d}x}{x^2} + 1 = 2 - \frac{1}{n} < 2.$$

Oui, mais, si on veut éviter le recours à Euler-Maclaurin, on peut s'amuser à faire varier la majoration à peu de frais : pour tout entier $m \in \left[ 1,n \right]$
$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \leqslant \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k^2} + \int_{m}^n \frac{\textrm{d}t}{t^2} + \frac{1}{m^2} = \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k^2} + \frac{1}{m} + \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n}.$$
Par exemple avec $m=10$, on obtient
$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} < 1,65 - \frac{1}{n}.$$
On voit le $\zeta(2)$ poindre son nez...Enfin, tout ça, c'est pour s'amuser.

C'est ça.

Ce genre de "technique" s'utilise assez souvent avec des sommes portant sur des nombres premiers, autrement plus délicates à manipuler, et on arrive finalement à des résultats explicites assez performants.

Il faut sans doute s'entendre sur la définition du mot "élémentaire", mais, et on en a déjà parlé sur ce forum, il y a une foultitude de méthodes pour arriver à $\zeta(2)$ (il y a des sites qui proposent plusieurs démonstrations, un problème du CAPES, peut-être 2007, s'appuie sur la méthode de Papadimitriou, etc).