Calcule de la limite

saly2018 · April 2018

Bonsoir
Pour calculer la limite de cette fonction en utilisant le développement limité, je sais que la limite est égale à $1/2$ en faisant un DL d'ordre 2 à la fonction $\log$, ma question est pourquoi on n'a pas fait un DL d'ordre 1 où la limite est égale à $1$.
$\lim\limits_{x\rightarrow 1} \Big(\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{\log x}\Big)$

aléa · April 2018

En posant $x=1+h$, on est amené à regarder
$\displaystyle \frac{1+h}h-\frac1{\log(1+h)}=1+\frac{\log(1+h)-h}{h\log(1+h)}$
Au dénominateur, on a l'équivalent $\log(1+h)h\sim h^2$ : cela force le degré du dl du numérateur si on veut pouvoir conclure.

saly2018 · April 2018

Je n'ai pas bien compris, car si on fait un dl d'ordre 1, on trouve
$\dfrac{1+t}{t}-\dfrac{1}{\log(1+t)}=\dfrac{1+t}{t}-\dfrac{1}{t}=\dfrac{t}{t}$
dont la limite est égale à 1.

aléa · April 2018

Faire un dl d'ordre 1, ce n'est pas écrire $\log(1+t)=t$, ce qui est faux.

Math Coss · April 2018

Il est bien évident que l'égalité $\dfrac{1+t}{t}-\dfrac{1}{\ln(1+t)}=\dfrac{1+t}{t}-\dfrac1t$ est fausse, n'est-ce pas ? On ne peut pas se passer du terme d'erreur.

On peut écrire\[\dfrac{1+t}{t}-\frac{1}{\ln(1+t)}=\dfrac{1+t}{t}-\dfrac1{t+o(t)}=
\frac{1}{t}\left(1+t-\frac1{1+o(1)}\right)=\frac1t(t+o(1))\]mais cela ne permet pas de conclure, même pas sur l'existence d'une limite en $0$.

saly2018 · April 2018

Je suis convaincu maintenant, merci pour vos réponses.

Calcule de la limite

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