Formes quadratiques

Salut

Comme $a$ et $c$ sont supérieur à $0$. On a : $$
q(x,y) \geq ax^2-| bxy| +cy^2
$$ Ensuite, l'idée est d'utiliser l'inégalité $2| xy | \leq x^2+y^2$. On a alors : $$
ax^2-|bxy| +cy^2 \geq ax^2 -\frac{1}{2}|b| (x^2+y^2) +cy^2 = \Big( a -\frac{| b|}{2} \Big)x^2 + \Big( c -\frac{|b|}{2} \Big) y^2 \geq (a-| b | + c) \min(x^2,y^2)
$$ Or $a -| b | \geq 0$ donc si $x\ne 0$ et $y \ne 0$. On a : $q(x,y) \geq c \times \min(x^2,y^2) \geq c$.
Maintenant, si $x \ne 0$ alors $q(x,0) \geq a$ et si $y \ne 0$ alors $q(0,y) \geq c$. On en déduit comme $a \leq c$, que la valeur minimal est $a = q(1,0)$.

Tu peux dire merci à Claude Quitté sur ce forum ;-)

Amuse toi bien avec les formes binaires !