$L^{\infty}$ non fermé dans $L^p$
Bonjour,
Je voudrais montrer que $L^{\infty}$ n'est pas fermé dans $(L^p, ||.||_{p})$. J'essaye donc de trouver une suite à valeurs dans $L^{\infty}$ qui converge dans $(L^p, ||.||_{p})$ mais dont la limite n'appartient pas à $L^{\infty}$, mais je n'y arrive pas.
Merci pour votre aide.
Je voudrais montrer que $L^{\infty}$ n'est pas fermé dans $(L^p, ||.||_{p})$. J'essaye donc de trouver une suite à valeurs dans $L^{\infty}$ qui converge dans $(L^p, ||.||_{p})$ mais dont la limite n'appartient pas à $L^{\infty}$, mais je n'y arrive pas.
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Réponses
Edit : comme le remarque Lunarie plus bas, c'est bien gentil mais ça ne va pas du tout, cette suite ne converge pas vers une fonction $L^p$...
Quitte à prendre la valeur absolue, on suppose : avec $f\ge 0$.
Pour $n \in \N$, on pose $f_n = \min(f,n) \in L^\infty$.
Par le théorème de convergence monotone (Beppo Levi), $f_n\to f$ au sens $L^p$.
On a $|f_n(x)|\leq M \, pp\Omega$ et la convergence dans L^p montre la convergence d'une sous suite pp et par passage à la limite, on trouve que f est aussi bornée
(@Poirot Tu es affine dans tes réponses ( direct) mais je suis elliptique dans les miennes)
Mais je ne vois pas trop où vous voulez en venir.
Dans la réponse de marsup, ce n'est pas clair pour moi que $f_n \to f$ dans $L^p$ avec Beppo Levi.
Dans la réponse de marsup . Tu as $f_n$ qui converge pp vers $f $et $f_n\leq f_{n+1}$ , donc par Beppo Levi $f_n$ converge vers $f$ dans $L^1$ tu as aussi $f^p_n$ qui converge pp vers $f^p $et $f^p_n\leq f^p_{n+1}$ par positivité et donc par Beppo Levi $f^p_n$ converge vers $f^p$ dans $L^1$ d c'est à dire $f_n$ converge vers $f$ dans $L^p$
L'exemple $f_n=n^{1/p}1_{[0,1/n]}$ ne permettait pas de répondre à la question car bien que $||f_n||_p=1$, on n'a pas la convergence en norme $p$. C'est bien cela?
regarde le message de Math, il y a un edit que tu n'as pas vu