Petite confirmation

Playa · April 2018

Bonjour,

Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ convexe dérivable sur $\mathbb{R}$ et admettant une dérivée seconde uniquement en $t_0$.
Pouvez-vous me confirmer que $f''(t_0) \geq 0$?
Logiquement $f'$ est croissante sur $\mathbb{R}$ donc $f''(t_0)$ sera positive !

Merci.

gebrane · April 2018

Bonjour Playa

Peux-tu donner un exemple de "$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ convexe
dérivable sur $\mathbb{R}$ et admettant une dérivée seconde uniquement en $t_0$"

Playa · April 2018

@gebrane :
Merci pour l'intéret.
Non je ne peux pas. En fait je voulais dire : pas forcement deux fois dérivables partout car dans ce cas c'est connu que $f" \geq 0$.

Anas Mourahib · April 2018

Vous pouvez travailler dans le voisinage de To, f est convexe sur ce voisinage, alors f'' dans ce voisinage est positive, i.e positive en To.

GaBuZoMeu · April 2018

Quelle est la définition de $f''(t_0)$ ?

Playa · April 2018

Voilà ma preuve.
$f'$ est croissante donc par définition, $f''(t_0)=\lim\limits_{t \to t_0} \frac{f'(t)-f'(t_0)}{t-t_0}$ est positive.
Pour moi, c'est correct. Je veux juste, si c'est possible, une petite confirmation. Merci d'avance.
Je précise qu'on n'a pas dans l'énoncé que f est deux fois dérivable sur toute la droite réelle (qui est un cas classique connu même en Terminale)

Poirot · April 2018

Ce n'est pas par définition que l'on obtient que cette quantité est positive. Comment peux-tu traduire la croissance de $f'$ pour dire quelque chose sur le taux d'accroissement $\frac{f'(t)-f'(t_0)}{t-t_0}$ ?

Playa · April 2018

@Poirot : Merci pour votre réponse.
En distinguant les cas.
Si $t<t_0$ alors $f'(t) \leq f'(t_0)$.
Si $t>t_0$ alors $f'(t) \geq f'(t_0)$.
Dans les deux cas, le taux d'accroissement est positif. D'où sa limite également.

Poirot · April 2018

C'est ça :-)

Playa · April 2018

@Poirot : Merci bien.

Petite confirmation

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