Base de Hilbert

johnsmoke
johnsmoke
dans Analyse
Bonjour, je bloque sur la c).

J'ai déjà montré que la famille $\sqrt 2\sin(kt),\ k \ge 1$ est orthonormée, je cherche maintenant à montrer qu'elle est dense dans $L$.
J'ai essayé de montrer, en notant $f_k := \sqrt 2\sin(kx)$, que si $f \in F$ vérifie $<f,f_k>\, = 0 ,\ \forall k \ge 1$, alors $f = 0$. Je bloque malheureusement.

Merci.75636

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    As-tu jamais calculé un sinus à partir d'une exponentielle complexe ? Sais-tu exprimer $f_k$ en fonction de $e_k$ et $e_{-k}$ ?

    L'énoncé du b) montre que tu sais que $(e_n)_{n\in\Z}$ est une base hilbertienne. Tu sais donc que la suite de fonctions définie par $S_n=\sum_{k=-n}^n\langle e_k,f\rangle e_k$ converge vers $f$, n'est-ce pas ?

    Avec ces deux ingrédients et la question b), peux-tu conclure ?
  • gb
    gb
    Bonjour,

    Àvec la question 2 :
    \[\langle e_n-e_{-n},f\rangle = \langle e_n,f\rangle - \langle e_{-n},f\rangle = 2 \langle e_n,f\rangle = -2 \langle e_{-n},f\rangle.\]
  • johnsmoke
    johnsmoke
    Merci Math Coss,

    J'avais déjà essayé quelque chose comme ça :

    $ f =\sum_{-\infty}^{\infty}\langle e_k,f\rangle e_k = \langle e_0,f\rangle e_0 + \sum_{k=1}^{+\infty}(\langle e_k,f\rangle + \langle e_{-k},f\rangle )e_k = \langle e_0,f\rangle e_0 + \sum_{k=1}^{+\infty}0e_k = \langle e_0,f\rangle e_0 $,

    en utilisant que $ \langle e_k,f\rangle + \langle e_{-k},f\rangle = 0$ d'après b).

    Je sais que je fais un erreur mais je ne trouve pas où.

    Pour ce qui est d'exprimer $f_k$ en fonction des $e_k, e_{-k}$, bien sûr que je sais. Je ne vois pas comment m'en servir.

    Je suis embrouillé dans tout ça.
    Merci
  • Poirot
    Poirot
    gb t'a tout fait pourtant. Il te suffit d'exprimer $f_k$ en fonction de $e_k$ et $e_{-k}$ et d'utiliser b).
  • Math Coss
    Math Coss
    Tu te trompes au deuxième signe d'égalité :
    \begin{align*}
    f&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\langle e_k,f\rangle e_k\\
    &=\langle e_0,f\rangle e_0+\sum_{k=1}^{+\infty}\langle e_k,f\rangle e_k+\sum_{k=-\infty}^{-1}\langle e_k,f\rangle e_k&\text{(on coupe !)}\\
    &=\langle e_0,f\rangle e_0+\sum_{k=1}^{+\infty}\langle e_k,f\rangle e_k+\sum_{\ell=1}^{+\infty}\langle e_{-\ell},f\rangle e_{-\ell}&(\ell=-k)\\
    &=\langle e_0,f\rangle e_0+\sum_{k=1}^{+\infty}\langle e_k,f\rangle e_k-\sum_{k=1}^{+\infty}\langle e_k,f\rangle e_{-k}&(k=\ell\ \text{et}\ \langle e_{-k},f\rangle=-\langle e_k,f\rangle)\\
    &=\cdots
    \end{align*}
  • johnsmoke
    johnsmoke
    Merci à tous je crois qu'en mettant tout au bon endroit ça colle :

    En utilisant que pour $ k \ge 1$, $\sqrt{2}if_k = e_k - e_{-k}$ et que $\langle f,e_k\rangle = \frac{ i}{\sqrt{2}} \langle f,f_k \rangle $, je trouve :

    $ f = \sum_{-\infty}^{+\infty} \langle f,e_k \rangle = \langle e_0,f \rangle e_0 + \sum_{1}^{\infty}\langle e_k,f\rangle(e_k-e_{-k})
    = \langle e_0,f \rangle e_0 + \sum_{1}^{\infty}\langle e_k,f\rangle i\sqrt{2}f_k = \langle e_0,f \rangle e_0 + \sum_{1}^{\infty}-\langle f_k,f\rangle f_k $

    puis comme $ \langle e_0,f \rangle = 0$ et que les $f_k$ et $f$ sont impaires, on trouve

    $f = \sum_{1}^{\infty}\langle f_k,f\rangle f_k$ et donc les $f_k$ forment une base hilbertienne de $F$
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