Calcul de cardinal

Je crois que la réponse est : $\tbinom{p + n - 1}{n - 1} = \tbinom{p + n - 1}{p}$

C'est le coup des stars and bars.

Au sein des familles de $n$ entiers dont la somme vaut $p$, Il y a deux sous-familles.

- Celles qui se terminent par un $0$.
Il y en a autant que des familles de $n-1$ entiers dont la somme vaut $p$.

- Celles qui se terminent par autre chose $>0$, donc $\ge 1$
Il y en a autant que des familles de $n-1$ entiers dont la somme est $<p$, donc $\le p-1$.

Oui, mais !
Des familles de $m$ entiers dont la somme est $\le r$, il y en a autant que des
familles de $m+1$ entiers dont la somme est $= r$.

ainsi : $
U(n,p)=
U(n-1,p)+
U(n,p-1)
$.

C'est d'aplomb avec $
\binom{p+n-1}{p} =
\binom{p+n-2}{p} +
\binom{p+n-2}{p-1}
$
soit (Pascal) $
\binom{a+1}{b+1}=
\binom{a}{b+1}+
\binom{a}{b}
$.

C'est expliqué juste après !