Calcul de cardinal
Bonjour
Je cherche à calculer le cardinal de l'ensemble A défini par $ A= \{ (x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{N}^n \mid \sum\limits_{i=1}^n x_i=p \} $, $p\in \mathbb{N} $ et $n$ sont fixés.
Je pose $U(n,p)$ le cardinal de $A$ ; je n'arrive pas à trouver une relation entre $U(n,p) ,\ U(n-1,p),\ U(n-1,p-1)$ ? N'importe qu'elle relation ?
Est-ce qu'il y a un cours de mathématique qui traite ce genre de problèmes ?
Merci.
Je cherche à calculer le cardinal de l'ensemble A défini par $ A= \{ (x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{N}^n \mid \sum\limits_{i=1}^n x_i=p \} $, $p\in \mathbb{N} $ et $n$ sont fixés.
Je pose $U(n,p)$ le cardinal de $A$ ; je n'arrive pas à trouver une relation entre $U(n,p) ,\ U(n-1,p),\ U(n-1,p-1)$ ? N'importe qu'elle relation ?
Est-ce qu'il y a un cours de mathématique qui traite ce genre de problèmes ?
Merci.
Réponses
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Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
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Je crois que la réponse est : $\tbinom{p + n - 1}{n - 1} = \tbinom{p + n - 1}{p}$
C'est le coup des stars and bars. -
Exact, ma piste est véreuse. Pas le même problème du tout du tout.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Au sein des familles de $n$ entiers dont la somme vaut $p$, Il y a deux sous-familles.
- Celles qui se terminent par un $0$.
Il y en a autant que des familles de $n-1$ entiers dont la somme vaut $p$.
- Celles qui se terminent par autre chose $>0$, donc $\ge 1$
Il y en a autant que des familles de $n-1$ entiers dont la somme est $<p$, donc $\le p-1$.
Oui, mais !
Des familles de $m$ entiers dont la somme est $\le r$, il y en a autant que des
familles de $m+1$ entiers dont la somme est $= r$.
ainsi : $
U(n,p)=
U(n-1,p)+
U(n,p-1)
$.
C'est d'aplomb avec $
\binom{p+n-1}{p} =
\binom{p+n-2}{p} +
\binom{p+n-2}{p-1}
$
soit (Pascal) $
\binom{a+1}{b+1}=
\binom{a}{b+1}+
\binom{a}{b}
$. -
-
C'est expliqué juste après !
-
Est-ce qu'il y a un cours ou exercice classique qui traite des exercices comme cella ?
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Bonjour!
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