Continuité intégrale à paramètres
Bonjour
Dans le cadre d'un concours (maths1 HEC2018) on étudie la fonction qui à tout x réel associe l'intégrale de 0 à + l'infini de exp(-t^2)cos(2xt)dt
On demande de refaire une démo de cos(u)-cos(v)=2sin((u+v)/2)sin((v-u)/2) et de valeur absolue de sin u plus petit ou égal à valeur absolue de u pour tout u réel
Puis on doit en déduire que F est continue sur R.
Comment y parvenir ?
Sachant que l'on ne dispose pas de théorème trop sophistiqué.
Merci
[Tu n'arriveras jamais à faire ta démo sans les parenthèses rouges ! AD]
Dans le cadre d'un concours (maths1 HEC2018) on étudie la fonction qui à tout x réel associe l'intégrale de 0 à + l'infini de exp(-t^2)cos(2xt)dt
On demande de refaire une démo de cos(u)-cos(v)=2sin((u+v)/2)sin((v-u)/2) et de valeur absolue de sin u plus petit ou égal à valeur absolue de u pour tout u réel
Puis on doit en déduire que F est continue sur R.
Comment y parvenir ?
Sachant que l'on ne dispose pas de théorème trop sophistiqué.
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Réponses
En justifiant correctement l'existence des intégrales dont on a l'utilité :
\begin{align}
F(x)-F(y) &= \int_0^{+\infty}\exp(-t^2)\bigl(\cos(2xt)-\cos(2yt)\bigr)\,dt \\
&= 2\int_0^{+\infty}\exp(-t^2)\sin((x+y)t)\sin((y-x)t)\bigr)\,dt \\
\lvert F(x)-F(y)\rvert &\leqslant 2\int_0^{+\infty}\exp(-t^2)\lvert\sin((x+y)t)\sin((y-x)t)\rvert\,dt \\
&\leqslant 2\int_0^{+\infty}\exp(-t^2)\lvert(x+y)t(y-x)t\rvert\,dt \\
&\leqslant 2\lvert x^2-y^2\rvert \int_0^{+\infty}\exp(-t^2)t^2\,dt
\end{align}
et cette majoration permet de prouver :
\[\lim_{y\to x} F(y)=F(x).\]
Merci pour cette réponse super rapide et claire gb !
J'ai besoin de l'existence de \(\int_0^{+\infty}\exp(-t^2)t^2\,dt\), qui ne découle pas de la définition de \(F\).
Plus tard dans l'énoncé après avoir montré que F'(x)=-2xF(x) pour tout x réel on doit en déduire que F(x)=sqrt pi /2 exp(-x^2)
J'ai bien pensé au théorème fondamental de l'analyse pour ce genre de question en utilisant Chasles et en écrivant F' sous forme d'intégrale via Chasles sauf que d'habitude dans ce genre d'exo l'intégrande est indépendante de la variable de la fonction (F pas l'intégrande) ce qui permet de conclure mais là....j'ai séché
Merci
On détermine \(F\) comme solution de l'équation différentielle linéaire : \(y'=-2xy\).
On a : $F'= -2x \cdot F$, donc $\frac{F'}{F} = -2x$.
On intègre : $\ln|F| = -x^2 + K$, d'où $F = \exp(K) \cdot \exp(-x^2)$.
On trouve $\exp(K)$ en prenant $x=0$, car $F(0) = \exp(K)$.
Merci marsup, je n'ai aucune connaissance en équation différentielle mais j'ai cru comprendre qu'il s'agissait de résoudre des équations dont les inconnues sont des fonctions, n'est pas ce que vous venez de faire ?
cela dit je ne comprends pas, lorsque vous intégrez il ne reste que F où est passé F'?
Dans un problème d'analyse pure et dure, j'aurais une préférence pour une comparaison par petit \(o\) à une intégrale de Riemann, mais dans un problème de HEC, même s'il n'y a pas de probas, c'est pas mal de mettre en avant le cours sur les moments des lois usuelles.
Si la loi normale intervient dans la suite du problème, il vaut mieux poser des jalons en plaçant immédiatement un résultat à réutiliser par la suite.
On montre facilement que $x\mapsto \exp(x^2)\cdot F(x)$ est constante.
Enfin, "facilement", si on connaît l'astuce ! (c'est-à-dire si on a fréquenté la bonne classe prépa, dans le bon centre-ville etc.)
C'est la méthode de variation de la constante, question de cours quand les équadiff sont au programme (pas en ECS, donc) !
J'ignorais.
On veut : \(F(x) = \frac{\sqrt\pi}2\exp(-x^2)\), autrement dit : \(F(x)\exp(x^2) = \frac{\sqrt\pi}2\).
On définit : \(G(x)=F(x)\exp(x^2)\) et, pour prouver que \(G\) est constante, on dérive :
\[G'(x) = F'(x)\exp(x^2)+F(x).2x\exp(x^2)=(F'(x)+2xF(x))\exp(x^2)=0\]
et c'est gagné.
On obtient la valeur de la constante en évaluant en \(0\) : \(G(x) = G(0) = F(0)\), donc : \(F(x) = F(0)\exp(-x^2)\).
Merci pour votre aide !