Continuité intégrale à paramètres

jp59 · April 2018

Bonjour

Dans le cadre d'un concours (maths1 HEC2018) on étudie la fonction qui à tout x réel associe l'intégrale de 0 à + l'infini de exp(-t^2)cos(2xt)dt
On demande de refaire une démo de cos(u)-cos(v)=2sin((u+v)/2)sin((v-u)/2) et de valeur absolue de sin u plus petit ou égal à valeur absolue de u pour tout u réel
Puis on doit en déduire que F est continue sur R.
Comment y parvenir ?
Sachant que l'on ne dispose pas de théorème trop sophistiqué.
Merci

[Tu n'arriveras jamais à faire ta démo sans les parenthèses rouges ! AD]

gb · April 2018

Bonjour,

En justifiant correctement l'existence des intégrales dont on a l'utilité :
\begin{align}
F(x)-F(y) &= \int_0^{+\infty}\exp(-t^2)\bigl(\cos(2xt)-\cos(2yt)\bigr)\,dt \\
&= 2\int_0^{+\infty}\exp(-t^2)\sin((x+y)t)\sin((y-x)t)\bigr)\,dt \\
\lvert F(x)-F(y)\rvert &\leqslant 2\int_0^{+\infty}\exp(-t^2)\lvert\sin((x+y)t)\sin((y-x)t)\rvert\,dt \\
&\leqslant 2\int_0^{+\infty}\exp(-t^2)\lvert(x+y)t(y-x)t\rvert\,dt \\
&\leqslant 2\lvert x^2-y^2\rvert \int_0^{+\infty}\exp(-t^2)t^2\,dt
\end{align}
et cette majoration permet de prouver :
\[\lim_{y\to x} F(y)=F(x).\]

jp59 · April 2018

Oui bien sûr l'ensemble de définition de la fonction était un des objets des préliminaires à cette question !
Merci pour cette réponse super rapide et claire gb !

gb · April 2018

jp59 a écrit:

Oui bien sûr l'ensemble de définition de la fonction était un des objets des préliminaires à cette question !

J'ai besoin de l'existence de $\int_0^{+\infty}\exp(-t^2)t^2\,dt$, qui ne découle pas de la définition de $F$.

jp59 · April 2018

Je me permets de reposer une question si vous le voulez bien !

Plus tard dans l'énoncé après avoir montré que F'(x)=-2xF(x) pour tout x réel on doit en déduire que F(x)=sqrt pi /2 exp(-x^2)

J'ai bien pensé au théorème fondamental de l'analyse pour ce genre de question en utilisant Chasles et en écrivant F' sous forme d'intégrale via Chasles sauf que d'habitude dans ce genre d'exo l'intégrande est indépendante de la variable de la fonction (F pas l'intégrande) ce qui permet de conclure mais là....j'ai séché

Merci

jp59 · April 2018

C'était aussi l'objet d'une question (d'ailleurs vaut-il mieux justifier avec un petit o d'intégrale de Riemann (c'est ce que j'ai fait) ou est-ce mieux d'invoquer le moment d'ordre d'une VA suivant une loi normale?) et par continuité sur 0;1

gb · April 2018

jp59 a écrit:

après avoir montré que F'(x)=-2xF(x) pour tout x réel on doit en déduire que F(x)=sqrt pi /2 exp(-x^2)

On détermine $F$ comme solution de l'équation différentielle linéaire : $y'=-2xy$.

marsup · April 2018

C'est n'importe quoi de faire faire des équadiff en ECS !

On a : $F'= -2x \cdot F$, donc $\frac{F'}{F} = -2x$.

On intègre : $\ln|F| = -x^2 + K$, d'où $F = \exp(K) \cdot \exp(-x^2)$.

On trouve $\exp(K)$ en prenant $x=0$, car $F(0) = \exp(K)$.

jp59 · April 2018

Est-ce qu'il existe une autre méthode que par l'équation différentielle?
Merci marsup, je n'ai aucune connaissance en équation différentielle mais j'ai cru comprendre qu'il s'agissait de résoudre des équations dont les inconnues sont des fonctions, n'est pas ce que vous venez de faire ?
cela dit je ne comprends pas, lorsque vous intégrez il ne reste que F où est passé F'?

gb · April 2018

jp59 a écrit:

vaut-il mieux justifier avec un petit o d'intégrale de Riemann (c'est ce que j'ai fait) ou est-ce mieux d'invoquer le moment d'ordre d'une VA suivant une loi normale?

Dans un problème d'analyse pure et dure, j'aurais une préférence pour une comparaison par petit $o$ à une intégrale de Riemann, mais dans un problème de HEC, même s'il n'y a pas de probas, c'est pas mal de mettre en avant le cours sur les moments des lois usuelles.
Si la loi normale intervient dans la suite du problème, il vaut mieux poser des jalons en plaçant immédiatement un résultat à réutiliser par la suite.

jp59 · April 2018

J'ai en fait choisi de mettre le petit o car je me suis dit "pourquoi une VA normale admet des moments de tout ordre? Grâce à Riemann" donc j'avais l'impression de donner une raison + "profonde" mais c'est probablement un détail

marsup · April 2018

Non, c'est pour ça que je dis que c'est n'importe quoi.

On montre facilement que $x\mapsto \exp(x^2)\cdot F(x)$ est constante.

Enfin, "facilement", si on connaît l'astuce ! (c'est-à-dire si on a fréquenté la bonne classe prépa, dans le bon centre-ville etc.)

C'est la méthode de variation de la constante, question de cours quand les équadiff sont au programme (pas en ECS, donc) !

gb · April 2018

marsup a écrit:

C'est n'importe quoi de faire faire des équadiff en ECS !

J'ignorais.

On veut : $F(x) = \frac{\sqrt\pi}2\exp(-x^2)$, autrement dit : $F(x)\exp(x^2) = \frac{\sqrt\pi}2$.
On définit : $G(x)=F(x)\exp(x^2)$ et, pour prouver que $G$ est constante, on dérive :
\[G'(x) = F'(x)\exp(x^2)+F(x).2x\exp(x^2)=(F'(x)+2xF(x))\exp(x^2)=0\]
et c'est gagné.
On obtient la valeur de la constante en évaluant en $0$ : $G(x) = G(0) = F(0)$, donc : $F(x) = F(0)\exp(-x^2)$.