Différentiabilité

Playa
Playa
dans Analyse
Bonsoir,

Certains ouvrages définissent et étudient la différentiabilité pour des fonctions à valeurs dans $\mathbb{R^p}$définies sur tout $\mathbb{R^n}$.
Si la fonction à laquelle on s'intéresse est définie sur un ouvert $O$ non trivial de $\mathbb{R^n}$, comment rejoindre le cadre précédent ?

J'ai pensé à prolonger en dehors de $O$ par la constante $0$. C'est ce qui est sous-entendu par ces ouvrages?

Merci d'avance.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    A priori, la différentiabilité est une notion locale, donc il n'y a pas besoin de sortir de l'ouvert.
    Il me semble peu crédible qu'on définisse la différentiabilité seulement sur tout $\mathbb R^n$.

    Cordialement.
  • ev
    ev
    Prenons $n=p=1$, $f$ définie par $f(x) = x^2$ sur $]-1,1[$.
    Que se passe-t-il lorsque tu prolonges $f$ par zéro en-dehors de $]-1,1[$ ?

    e.v.

    [ En revanche $\R^n$ est un ouvert de $\R^n$ comme les autres. ]
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Playa
    Playa
    Merci.
    @ev : Il y a un problème aux bords (non dérivabilité, même non continuité) en $-1$ et $1$. La parabole prolongée est dérivable uniquement sur $\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$.
    La définition et étude sur tout l'espace est donc restrictive. Sauf, peut-être, que les auteurs veulent dire que les preuves sont facilement adaptable aux cas où la fonction est définie sur un ouvert quelconque.
    C'est ça?
    Sinon, est-ce qu'il y a résultat de prolongement préservent la différentiabilité (dans notre cas on peut prolonger par $x \rightarrow 1+2x$ et $x \rightarrow -1+2x$ ?
  • ev
    ev
    Essaye avec $x\longmapsto \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$ pour commencer...

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Playa
    Playa
    @ev : Impossible de prolonger cette fonction, la limite en $-1$ et $+1$ est $+\infty$ (impossible d'avoir la continuité).
    Du coup, que conclure de pertinent à part l'inexistence d'un tel résultat de prolongement différentiable dans un cas général? Merci.
  • ev
    ev
    Ben, que dans le cas général des fois ça marche et des fois ça ne marche pas...

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Anas Mourahib
    Anas Mourahib
    Playa est-ce que vous pouvez être plus précis dans votre question ?
  • gebrane
    gebrane
    @Playa
    Ta question est bizarre, tu te demandes pourquoi on définit la différentiabilité sur tout l'espace et non pas sur un ouvert de l'espace; alors qu' en vérité dans tous les documents que j'ai rencontré , on définit la différentiabilité justement sur un ouvert , tu peux regarder ce cours definition 5.
    La question qu'il faut se poser pourquoi on définit cette notion justement sur un sur un ouvert, c'est simplement pour avoir l'unicité de la différentielle ( prendre le cas si on définit la différentiabilité sur une droite)
    Le 😄 Farceur


  • Anas Mourahib
    Anas Mourahib
    @gebran
    Exactement, tous les ouvrages définissent la différentiabilité sur un ouvert.
    Mais je n'ai pas bien compris ce que vous avez dit sur l'unicité, et je n'ai pas compris l'exemple de la droite.

    En tous cas, ce que je sais est que comme toutes les notions locales, (continuité dérivabilité) on prend un ouvert, seulement pour l'existence d'un voisinage qui est inclus dans cette partie d'un point quelconque.
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