Fonction à variation bornée

Ça veut dire quoi une fonction croissante à deux variables par exemples? "si comme si tu dis une fonction croissante de $\C$ dans $\R$"

Une fonction absolument continue (concept un peu plus fort que celui de variation bornée) est l'intégrale de sa dérivée : si $f$ est absolument continue alors $f'$ existe presque partout et on a $f(y)-f(x)=\int_{[x;y]}f'\mathrm d \lambda. $ Plutôt que d'intégrer la fonction $f'$ contre la mesure de Lebesgue on peut considérer que l'on intègre la fonction constante égale à $1$ contre la mesure (signée) $f'\mathrm d \lambda$ et dans ce cas là les fonctions absolument continues sont les fonctions qu'on obtient en intégrant des mesures de la forme $g\mathrm d \lambda$ avec $g\in L^1$. Ces mesures sont exactement les mesures finies et absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue.

On peut aussi intégrer d'autres mesures (signées) que celles absolument continues par rapport à celle de Lebesgue, et dans ce cas on tombe sur les fonctions à variations bornées. Si $f$ est à variations bornées alors $f=g-h$ où $g$ et $h$ sont croissantes, les dérivés de $g$ et $h$ au sens des distributions s'identifient à des mesures de Radon finies et on obtient encore une fois $f(y)-f(x)=\int_{[x;y]}\mathrm dg'-\int_{[x;y]}\mathrm dh'$. Plutôt que de parler de ce genre de théorème fondamental de l'analyse on peut simplement dire que la dérivée au sens des distributions de $f$ est une mesure de Radon finie et signée qui se décompose en une différence de deux mesures positives.

Ce point de vue se généralise bien à des parties de $\mathbf R^n$ : on dit qu'une fonction est à variations bornées si son gradient au sens des distributions est une mesure de Radon finie (signée). Par le thèorème de Jordan on sait que l'on peut décomposer cette mesure en une différence de deux mesures positives : c'est l'équivalent de la propriété précédente. La variation totale de la fonction $f$ est alors définie comme la variation totale de sa dérivée (en tant que mesure).

Quelqu'un peut-il expliquer à Mehdi que la notion de fonctions croissantes na pas de sens en plusieurs variables?