Transformée de Fourier

mati
mati
dans Analyse
Bonsoir à tous,
alors on sait que la transformée de Fourier d'un élément $f$ de $S(\R^n)$ est dans $S(\R^n)$ : pour tout $f \in S(\R^n)$ on a $Ff \in S(\R^n)$.
Mais je vois dans des ouvrages qu'on écrit souvent ceci : pour tout $f,\varphi \in S(\R^n)$ : $<Ff,\varphi>_{S',S}$. Est-ce que $Ff$ est dans $S(\R^n)$ et en même temps dans $S'(\R^n)$ ?:-S
Merci par avance.

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    L'un est inclus dans l'autre ( comme pour les distributions D est inclus dans D')
    Le 😄 Farceur


  • mati
    mati
    Ok. $$
    \mathcal{D} \subset S \subset L^1
    $$ où se situe $S'$ ?
  • Tryss
    Tryss
    Si $\mathcal{D}\subset \mathcal{S} \subset L^1$ alors $(L^1)' \subset \mathcal{S} '\subset \mathcal{D}'$

    Mais $(L^1)' = L^\infty$ (dans le cas qui nous intéresse ici), donc on a


    $\mathcal{D} \subset \mathcal{S} \subset L^\infty = (L^1)' \subset \mathcal{S} '\subset \mathcal{D}'$
  • mati
    mati
    d'un côté si $f \in L^1(\R^n)$ alors $Ff \in C^0_0(\R^n)$ qui est l'espace des fonction continues telles que $\lim_{|x| \to +\infty} f(x)=0$ d'un autre côté je lis aussi que si $f \in L^1(\R^n)$ alors $Ff \in L^\infty(\R^n)$. C'est quoi la relation entre $L^{\infty}(\R^n)$ et $C^0_0(\R^n)$?
  • gebrane
    gebrane
    Une fonction continue telles que $\lim_{|x| \to +\infty} f(x)=0$ n'est pas bornée?
    Le 😄 Farceur


  • Cyrano
    Cyrano
    Soit $f\in C_0^0(\R^n)$. Que penser de $$\sup_{x\in [-R,R]^n} |f(x)|, \quad \sup_{x\in \R^n \backslash [-R,R]^n} |f(x)|$$ pour $R$ assez grand ?
  • gebrane
    gebrane
    @Cyrano
    Ta question est @?
    Le 😄 Farceur


  • mati
    mati
    $\lim_{|x| \to +\infty} f(x)=0$ implique que $f$ est bornée sur $\R$. Alors on a l'onclusion $C^0_0 (\R^n) \subset L^\infty(\R^n)$. Mais est-ce qu'on a l'inclusion $L^\infty (\R^n) \subset C^0_0(\R^n)$?
  • Tryss
    Tryss
    Que penses tu de la fonction constante égale à $1$ ?
  • mati
    mati
    Tryss la fonction constante 1 n'est pas $C^0_0$ mais elle est $L^\infty$ donc on n'a seulement une inclusion et pas une égalité entre les deux espaces.
    Je conclus que dire que si $f \in L^1$ alors $Ff \in C^0_0$ est plus précis que de dire que $Ff \in L^\infty$.
    C'est une bonne conclusion ?
  • Tryss
    Tryss
    C'est ça.

    Et, petite remarque, l'image de $L^1$ par la transformée de Fourier n'est pas $C_0$ tout entier, mais seulement une partie, assez mal connue d'ailleurs.
  • mati
    mati
    Ce que je ne comprends pas c'est que dans les livre je lis que si $f \in L^1(\R^n)$ alors $Ff \in L^\infty(\R^n)$. C'est quoi le plus juste ? Dire que c'est dans une partie de $C^0_0$ ou bien dans $L^\infty$ ? :-S
  • Cyrano
    Cyrano
    Gebrane : C'était destiné à mati.
  • Tryss
    Tryss
    Si je dis que $2$ est un nombre entier, c'est plus ou moins juste que de dire que c'est un nombre entier pair?

    Les deux sont justes et sont corrects. Tu as juste qu'un des résultats te donne plus d'informations que l'autre.

    Mais si le livre que tu utilises n'a pas besoin de plus que $Ff \in L^\infty$ pour démontrer les résultats qu'il souhaite démontrer, c'est parfaitement normal qu'il s'arrête là.
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