Développement en série entière

CQG · May 2018

Bonjour,

Je bloque sur le problème suivant : développer en série entière
$$
f(x)=\int_0^x\frac{t}{1-x\sin(t)}dt.
$$
On pense à développer en série entière $\frac{1}{1-x\sin(t)}$ pour $|x|<1$ mais que faire de l'intégrale fonction de la borne, et à paramètre, si l'on imagine permuter $\int$ et $\sum$ ?

Quelle autre direction est possible selon vous ?

Merci pour votre aide.

gb · May 2018

Bonjour,

Je ne vois pas le problème ; après le développement en série entière, on obtient :
\[\int_0^x\sum_{n=0}^{+\infty}u_n(t)\,dt\]
et il suffit de vérifier que, à $x$ fixé, la série de terme général $u_n$, qui est une fonction de $t$, converge convenablement sur l'intervalle d'extrémités $0$ et $x$, de telle sorte qu'il est licite intégrer la série terme à terme.

gb · May 2018

Le problème, c'est que, après intégration de la série terme à terme, on obtient une série de fonctions dont les développements en série entière ne sont pas facilement manipulables:
\[f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\int_0^x t\sin^nt \,dt\right) x^n.\]

CQG · May 2018

Bonjour gb,
Merci pour votre réponse.
J'en suis là pour $|x<1$ : $$
\frac{t}{1-x\sin(t)}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^nt\sin^n(t)dt
$$ Je pensais utiliser le théorème d'intégration terme à terme sur tout segment inclus dans l'intervalle ouvert de convergence d'une série entière mais la série n'est pas entière pour la variable $t$ ?

Il faut utiliser ce théorème pour les séries de fonctions du coup ? Je ne le connais pas..
Est-ce possible de le faire à la main sur des sommes finies ?

gb · May 2018

Je fixe $x$ dans $]-1,1[$ ; alors la série de terme général : $t\mapsto x^nt\sin^nt$ converge normalement, donc uniformément, sur le segment d'extrémités 0 et $x$, ce qui permet d'intégrer cette série terme à terme sur ledit segment.
Cela permet seulement d'obtenir l'expression que j'ai donnée précédemment, qui n'est pas une série entière, et qui ne me paraît pas se développer facilement en série entière.

CQG · May 2018

D'accord, j'ai compris la méthode et qu'elle ne fournit pas un développement en série entière.
Merci.

gebrane · May 2018

Est ce que c'est un exercice où on demande clairement de développer f en série entière où une question que tu te poses?

CQG · May 2018

Oui, en effet...

Dans le même livre, un autre exercice semblable propose de laisser le DSE avec des coefficients sous forme intégrale.

Mais même dans ce cas les arguments de gb indiquent que l'on n'a pas obtenu un DSE...

gebrane · May 2018

Peux-tu scanner l'exercice ?

CQG · May 2018

Là, tout de suite non, désolé...

Développement en série entière

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