Simplification de somme

Adaq
Adaq
dans Analyse
Bonjour
Il faut que je simplifie l'expression suivante afin de pouvoir en déterminer la valeur : $$
\sum_{i = 0}^{100} {100\choose i} \Big(\frac{50889}{1748662}\Big)^i\Big(\frac{1697773}{1748662}\Big)^{100-i}
$$ Sentez vous libre de remplacer la première fraction par $a$ et la deuxième par $b$, je suppose que la valeur n'a aucune importance pour la simplification.
À savoir : $a = 1 - b$ puisqu'il s'agit d'une somme de distributions binomiales.
Merci.

Réponses

  • gb
    gb
    Bonjour,

    On reconnaît un développement de \((a+b)^n\)…
  • noix de totos
    noix de totos
    Formule du binôme de Newton : on trouve $1$.
  • Adaq
    Adaq
    Merci bien !
  • Math Coss
    Math Coss
    Remplaçons dans le même mouvement $100$ par $n$, ta somme s'écrit :
    \[\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^ib^{n-i}.\]Tu reconnais une formule célèbre ? (Avec tous ces coefficients binomiaux, pas facile de ne pas penser à un binôme...)

    Tiens, je suis hors temps.
  • gebrane
    gebrane
    Il dit qu'il s'agit d'une somme de distributions binomiales , si on pose $p_i=P(X=i)$ avec X une loi binomiale, il doit savoir sans même réfléchir que $\sum_{i=1}^n p_i=1$
    Le 😄 Farceur


  • Adaq
    Adaq
    Et imaginons que je veux savoir : $$\sum_{i = 0}^{20} {100\choose i} p^i (1-p)^{100-i}$$
  • gebrane
    gebrane
    Dans ce cas, il faut mettre ton imagination à l' épreuve
    Le 😄 Farceur


  • Adaq
    Adaq
    Merci de cette réponse haha, mais c'était sérieux j'ai vraiment besoin de savoir comment on calcule cela
  • noix de totos
    noix de totos
    Il n'y a pas de "formule close" pour les sommes partielles de coefficients binomiaux en général.

    En revanche, on dispose de bonnes majorations, par exemple en utilisant des inégalités connues de probabilités. Voir à ce propos le numéro 87 du journal Quadrature.
  • gebrane
    gebrane
    Pour calculer ta somme = $P(X\leq 20) $ On utilise une approximation par une loi normale ( si conditions satisfaites)
    Le 😄 Farceur


  • Adaq
    Adaq
    D'accord merci bien
  • noix de totos
    noix de totos
    Remplacer une somme que l'on ne peut pas calculer par une intégrale que l'on ne peut pas calculer (même si elle est tabulée), ce n'est pas nécessairement le mieux.

    Même si ça peut se concevoir d'un point de vue statistique, ce n'est pas top d'un point de vue mathématique.

    Ce fil appartient au forum "Analyse". Si le souhait du demandeur est de se satisfaire de l'approximation d'une loi binomiale par une loi normale, je m'arrêterai alors d'intervenir ici. Sinon, la référence que j'ai donnée plus haut contient des informations allant dans le sens de sa question initiale.
  • P.
    P.
    N'oublions pas que si $N<n$ alors, comme on le voit en derivant par rapport a $p$ on a :
    $$\sum_{k=0}^NC^k_np^k(1-p)^{n-k}=C^{N+1}_n\int_p^1t^{N}(1-t)^{n-N-1}dt$$
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