Équation d'onde en une dimension

Bonjour
J'ai une question concernant la solution de l’équation d'onde suivante.

$\partial_t^2 f(x,t) = u^2 \partial_x^2 f(x,t)$ pour $-L < x < L$
$ f(-L,t) = 0$ pour $t>0$
$ \partial_xf(L,t) = 0 $ pour $t>0$

Je trouve la solution suivante. $$
f(x,t)=P_n\Big[ \cos\Big(\frac{2n+1}{4L}\pi x\Big)+(-1)^n \sin\Big(\frac{2n+1}{4L}\pi x\big) \Big]\sin\Big(u\frac{2n+1}{4L}\pi t\Big)
$$ avec comme $\lambda_n =-u^2 \Big(\dfrac{2n+1}{4L}\Big)^2\pi^2$

Je pense que c'est la mauvaise réponse, est-ce que vous avez une idée ? Merci