Plus petite norme de produit tensoriel

Bonjour
Je ne sais pas si je suis dans le bon forum : topologie ou analyse ?

J'essaie de lire le Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques, de Grothendieck résumé de la théorie
Je ne vais pas très loin, parce que je ne vois pas comment dans le théorème 1, page 7, on montre que la norme raisonnable $\vee$ est la plus petite des normes raisonnables possibles.

J'ai l'impression qu'il suffirait de pouvoir dire que toute forme bilinéaire continue $b$ sur $E \times F$ induit une forme linéaire continue $\tilde{b}$ sur $E \otimes F$ munie de la topologie de la norme $\alpha$. Pour cela, on a facilement que $\tilde{b}(x\otimes y)\leq ||b|| \alpha(x\otimes y)$, mais si $u=\sum_i x_i \otimes y_i$, comment montrer que $\tilde{b}(u)\leq ||b|| \alpha(u)$ ?

D'autres idées ? Merci.