Nommer des opérateurs

Chaurien · May 2018

Bonjour.
Au cours de mes lectures, je tombe sur un énoncé qui fait apparaître des opérateurs d'un espace de polynômes réels à deux variables réelles :

$\Delta (P)=\frac{\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2}P}{\partial y^{2}}$,
$T(P)(x,y)=\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }P(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\cos \theta ,\sqrt{x^{2}+y^{2}}\sin \theta )d\theta $,
$L(P)=y\frac{\partial P}{\partial x}-x\frac{\partial P}{\partial y}$

Le premier, je le connais, c'est le laplacien. Les deux autres, il me semble les avoir déjà rencontrés, mais je ne me souviens plus ni quand ni où, ni s'ils ont des noms.
Une consultation de sites et de livres ne m'a rien donné.
Qu'en dites-vous ?
D'avance merci.
Fr. Ch.

Cyrano · May 2018

Si l'on écrit $\sqrt{x^2+y^2} = r$, alors le second opérateur donne $$T(P)(x,y) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} P(re^{i\theta}) d\theta= \frac{1}{2i\pi r} \int_{C(0,r)^+} P(z) dz.$$ Il me semble qu'on appelle ça traditionnellement "opérateur moyenne circulaire." En effet on calcule bien, en chaque point, la moyenne de la fonction sur le cercle passant par ce point.

Cyrano · May 2018

Quant au dernier opérateur, considérons l'opérateur d'Euler complexe $$z\frac{\partial P}{\partial z} = (x+iy)\frac{1}{2} \left( \frac{\partial P}{\partial x}-i\frac{\partial P}{\partial y}\right) = \frac{1}{2} \left(\left(x\frac{\partial P}{\partial x}+ y\frac{\partial P}{\partial y}\right) + i\left(y\frac{\partial P}{\partial x}- x\frac{\partial P}{\partial y} \right) \right).$$ Bref, à une constante près, ton dernier opérateur est simplement la partie imaginaire de l'opérateur d'Euler. Je ne sais pas si cela porte un nom spécifique.

(Désolé pour le double post.)

Math Coss · May 2018

Le troisième opérateur consiste à dériver le long du champ de vecteurs $V$ dessiné ci-dessous : pour $p\in\R^2$,
\[L(f)(p)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(p+tV(p)).\]Ce champ préserve les cercles centrés en l'origine, au sens où il est tangent à ces cercles, ou bien les cercles sont les orbites du flot associé (les trajectoires des solutions de l'équation différentielle $\dot{X}(t)=V(X(t))$).

Tous ces opérateurs ont le beau rôle dans le livre Analyse sur les groupes de Lie de Jacques Faraut chez Calvage et Mounet. 75806

john_john · May 2018

A noter que si $P=0$, avec $P$ (homogène) de degré $2$ est l'équation de la réunion de deux droites passant par l'origine d'un plan affine euclidien (rapporté à un repère orthonormé), alors $L(P)=0$ est l'équation de la réunion des bissectrices de ces droites. En un temps que les moins de nonante ans n'ont pas connu, on parlait d'ailleurs de <<faisceau>> de deux droites.

Cordialement, j__j

Chaurien · May 2018

Merci pour ces éclaircissements.
Ces opérateurs ont des propriétés sympathiques : $T^2=T$, et $\Delta T=T \Delta$, et $TL=LT=0$, et $\mathrm{Im\,} T\cap \ker \Delta $ est l'ensemble des constantes, et peut-être d'autres.
Bonne et belle journée.
Fr. Ch.

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