Fonction continue partiellement
Bonjour,
dans un livre je suis tombé sur l'exercice suivant.
Énoncé: Soient $E$ et $F$ deux espaces métriques complets. Soit $f:E\times F\to \mathbb{R}$ une application qui est continue par rapport à chaque variable. Montrer que $f$ est continue sur une partie dense de $E\times F$.
Normalement, il faut utiliser le lemme de Baire, mais je ne vois pas de quelle famille d'ouverts ou de fermés partir.
J'ai trouvé plein de documents sur le lemme de Baire sur internet ou dans d'autres livres, mais aucun ne mentionnent ce résultat.
Auriez-vous une indication pour démarrer? Merci d'avance pour votre aide.
dans un livre je suis tombé sur l'exercice suivant.
Énoncé: Soient $E$ et $F$ deux espaces métriques complets. Soit $f:E\times F\to \mathbb{R}$ une application qui est continue par rapport à chaque variable. Montrer que $f$ est continue sur une partie dense de $E\times F$.
Normalement, il faut utiliser le lemme de Baire, mais je ne vois pas de quelle famille d'ouverts ou de fermés partir.
J'ai trouvé plein de documents sur le lemme de Baire sur internet ou dans d'autres livres, mais aucun ne mentionnent ce résultat.
Auriez-vous une indication pour démarrer? Merci d'avance pour votre aide.
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Réponses
Je ne sais pas si tu connais le résultat qui dit https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_la_limite_simple_de_Baire . Si tu le connais, f est la limite simple de la suite $( f_n )$ de fonctions continues sur $R^2$ , définie par
$$f_n(x,y)=2n\int_{x-\frac 1n}^{x+\frac 1n} f(t,y) dt$$
Peut-être, faut-il considérer les ouverts $O_n=\{(x,y) \in E \times F \mid |\limsup_{(x,y)} f-\liminf_{(x,y)} f|<\frac{1}{n}\}$ ?
Il faudrait montrer qu'ils sont denses.
marco : je vais y réfléchir.
En fouillant dans le monde anglophone, j’ai trouvé ce lien. Il semblerait aussi que Baire ait introduit son théorème en s’intéressant à ce problème.
-Un article de J.Saint Raymond pour commencer : http://www.ams.org/journals/proc/1983-087-03/S0002-9939-1983-0684646-1/S0002-9939-1983-0684646-1.pdf
L'article suivant (partie 1 et 2), lui, tisse un lien profond entre certaines notions de théorie descriptive des ensembles et les espaces de Namioka :
-http://www.ams.org/journals/proc/1986-097-01/S0002-9939-1986-0831408-0/S0002-9939-1986-0831408-0.pdf
-http://www.ams.org/journals/proc/1987-099-04/S0002-9939-1987-0877056-9/S0002-9939-1987-0877056-9.pdf