Fonction contractante

nenu
nenu
dans Analyse
Bonjour
Je veux montrer que la fonction $g$ ci-dessous est contractante à partir de la définition.
Je sais le faire avec la proposition : $$g(x)=1-\frac{1}{5}\sin(4x),\quad x\in\mathbb{R}.
$$ Or $g'(x)=-\frac{4}{5}\cos(4x).$ Donc $|g'(x)|\leq \frac{4}{5}.\quad g$ est alors contractante.

Est-il possible de le montrer avec la définition directe c-à-d
$$|g(x)-g(y)|\leq k|x-y| \quad ?$$
En effet, je procède comme suit
\begin{align*}
|g(x)-g(y)|&=\Big|1-\frac{1}{5}\sin 4x -1+\frac{1}{5}\sin 4y\Big| \\
&=\Big|-\frac{1}{5}\sin 4x +\frac{1}{5}\sin 4y\Big| \\
&\leq\frac{1}{5}|\sin 4x -\sin 4y|
\end{align*}
Alors, comment obtenir $|x-y|$ ?
Sollicite votre aide. Merci !

Réponses

  • gb
    gb
    Bonjour,

    Il suffit d'utiliser les formules de trigonométrie qui permettent de transformer les sommes en produits, en particulier :
    \[\sin p - \sin q = 2 \sin \left( \frac{p-q}2 \right) \cos \left( \frac{p+q}2 \right).\]
  • nenu
    nenu
    @gb, en appliquant les formules de trigonométrie dont tu parle, je ne parviens à obtenir l'expression $|x-y|$
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ne vois tu pas un $\sin(2(x-y))$ ? Et ne sais-tu pas comparer $|\sin(u)|$ et $|u|$ ?
  • nenu
    nenu
    @GaBuZoMeu
    J'hésite avec ce raisonnement :
    \begin{align*}
    \Big| \sin4x - \sin4y\Big| & = \Big| 2\sin(2(x-y))\cos(2(x-y))\Big| \\
    &\leqslant 2\Big|\sin(2(x-y ))\cos(2(x-y))\Big| \\
    & \leqslant 4\Big|x-y\Big| 
    \end{align*}
    Car $ \Big|\sin(2(x-y))\Big|\thickapprox\Big|2(x-y)\Big|$ et $\Big|\cos(2(x-y))\Big|\leqslant 1$

    Est-il convaincant ? Vos remarques et suggestions sont les bienvenues .
  • Poirot
    Poirot
    Que peut bien vouloir dire $|\sin(2(x-y))|\approx|2(x-y)|$ ?
  • nenu
    nenu
    $\Big|\sin(2(x-y))\Big|\thickapprox\Big|2(x-y)\Big|$ lorsque $(x,y)=(0,0)$ ou $x=y=0$
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    @nenu,

    Ne peux-tu pas démontrer que, pour tout $u$ réel, $|\sin u |\leq| u|$ (par analyse et graphiquement) ? ça évitera les signes bizzares dans ta proposition de démonstration.
  • Poirot
    Poirot
    Ça ne veut toujours pas dire grand-chose. Es-tu en train de dire que $\sin(2(x-y))=2(x-y)$ lorsque $(x,y)=(0,0)$ ? Ce n'est pas vraiment un scoop, et ça ne prouve pas l'inégalité dont tu te sers.

    Comme le suggère YvesM, l'inégalité à utiliser est l'inégalité bien connue $|\sin u| \leq |u|$ pour tout $u$ réel.
  • nenu
    nenu
    Ah ok, je peux donc juste affirmer que $\Big|\sin(2(x-y))\Big|\leqslant\Big|2(x-y)\Big|$ ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Juste affirmer non, démontrer oui. Puis il manque les quantificateurs et sans eux ton affirmation n’a pas de sens.
    C’est comme si je te demande est-ce que je peux affirmer que $a=2 b$ ?

    Pour tous les réels x et y, on a ...

    Tu peux l’écrire sans le démontrer car c’est du classique. Mais tu dois le démontrer une fois pour toute.
  • nenu
    nenu
    Ok merci YvesM .
  • Math Coss
    Math Coss
    Je te suggérerais de le démontrer ici même et de le retenir pour le reste de ta vie (mathématique).
  • zorg69
    zorg69
    simplement parce que la dérivée de sin est cos qui en module est majorée par 1. Un petit coup d'inégalité des accroissements finis entre x et y réels et c'est fini.


    NB: Mon vieux, le niveau devient proche du zéro absolu...
  • Poirot
    Poirot
    @zorg69 : tu aurais pu lire le début du premier message de nenu, qui voulait une autre manière de montrer que la fonction est contractante. Pour le fait que le niveau devient proche de zéro, on est bien d'accord quand on voit les étudiants enchaîner des symboles sans signification et être satisfait de leurs raisonnements.
  • Math Coss
    Math Coss
    Tu as raison, Poirot, au point que je ne vois donc plus trop qu'on peut proposer. En gros, dériver et majorer la dérivée, c'est utiliser les accroissements finis. Quelle différence véritable avec une méthode qui ramène à la majoration de $|\sin u|\le|u|$ ?
  • nenu
    nenu
    En suivant les explications et orientations proposées dans ce forum, je retiens ceci:
    la fonction $\sin$ étant continue sur l'intervalle $\left[0;x\right]$ et dérivable sur $\left]0;x\right[$, alors d'aprèes le Théorème des accroissements finis, il existe un point $\alpha$ de $\left]0;x\right[$ tel que
    $$\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}=\cos(\alpha)\qquad c-\text{à}-d\qquad \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\alpha)\quad\text{où}\ I=[a;b]$$
    Donc
    \begin{align*}
    \left|\frac{\sin(x)}{x}\right| &=\left|\cos(\alpha)\right|\leqslant 1\\
    \left|\sin(x)\right| &\leqslant \left|x\right|
    \end{align*}
    car $\left|\cos(x)\right|\leqslant 1$

    Ceci étant, je peux donc affirmer que $\Big|\sin(2(x-y))\Big|\leqslant\Big|2(x-y)\Big|$ ? pour tous réels $x$, $y$.
  • Math Coss
    Math Coss
    Tout à fait.
  • nenu
    nenu
    Merci à vous tous !
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