Quel est l'unique solution de ce problème ?

Topotopo
Topotopo
dans Analyse
Bonsoir
J'ai le système suivant $$
\begin{cases}
y-\frac13 \tanh(x)+\frac14 Argsh(y)=0\\
4x-\tanh(y)+\frac43 Argsh(x)=0
\end{cases}
$$ La question dit : montrer que ce système admet une unique solution dans $(\mathbb{R}^2,d_1)$, déterminer-là.

Comment faire s'il vous plaît.

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Trouve une solution évidente comme on dit. Puis montre que c’est la seule...
    Tu peux étudier si certaines fonctions sont bijectives...
  • Topotopo
    Topotopo
    Oui par exemple (0,0) est une solution, on a que argsh est tanh sont toutes les deux injective je pense

    Mais ou utiliser la distance $d_1$?

    Merci
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Je ne comprends pas cette histoire de distance. Tu peux extraire $x$ de la première équation et injecter dans la seconde... C’est une méthode brutale mais je n’ai pas mieux...
  • Math Coss
    Math Coss
    À l'aune du contrat didactique, j'essaierais de montrer qu'une application est contractante et donc a un unique point fixe. Il est sans doute utile de diviser la deuxième équation par $4$ avant pour que ça ressemble plus à la première et pour récrire le système sous la forme : \[\def\Argsh{\mathrm{Argsh}}\begin{cases}x=-\dfrac13 \Argsh(x)+\dfrac14\tanh(y)\\
    y=\dfrac13 \tanh(x)-\dfrac14 \Argsh(y)
    \end{cases},\]ce qui conduit à poser \[f\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac13 \Argsh(x)+\dfrac14\tanh(y)\\\frac13 \tanh(x)-\frac14 \Argsh(y)\end{pmatrix}\]et à espérer que $f$ soit contractante pour $d_1$. Elle aurait alors un unique point fixe, $(0,0)$.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Les méthodes calculatoires que j’ai proposées n’aboutissent pas : c’est inextricable.
    Le théorème du point fixe, unicité et existence, par une fonction contractante marche quand on le combine avec le théorème de la moyenne.
    On calcule $f(x,y)$ puis la dérivée $f’(x,y)$ puis enfin $f’(x,y)(h,k)$ et par la norme $1$, somme des valeurs absolues des composantes, on trouve que $|f’(x,y)(h,k)|\leq (1/3+2/4)|(h,k)|$ et donc la différentielle est contractante. Voilà
  • Topotopo
    Topotopo
    Pourtant j'ai trouvé que $f$ était contractante en utilisant $|\tanh(x)-\tanh(x')|\leq |x-x'|,\quad\forall x,x'$ et $|\mathrm{Argsh}(x)-\mathrm{Argsh}(x')|\leq |x-x'|,\quad \forall x,x'$

    $d_1\big(f(x,y),f(x',y')\big)\leq \frac12|y-y'|+\frac23 |x-x'| \leq 12 d_1\big((x,y),(x',y')\big)$ d’où la contraction de $f$
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Ça marche aussi comme ça et c’est plus direct. Tu as écrit une typo à la fin ; on a $1/2+2/3=5/6<1$ donc contractante. Il ne suffit pas qu’une fonction soit contractante pour posséder un point fixe, n’est-ce pas ? Alors fait attention à la rédaction...
  • topo29
    topo29
    Pourquoi je ne peux pas prendre le max des deux, entre 1/2 et 2/3 ?
    Puis j'utilise le fait que l'espace est complet.
    Merci.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Tu as écrit $12$ et non pas $1/2$, d'où ma remarque sur la typo. Et non, on n'a pas $2/3<1/2$ que l'espace soit complet ou pas.
    Si tu prends le max, alors c'est $<2/3 d_1((x,y),(x',y'))$ et ce n'est pas ce que tu as écrit.
  • topo29
    topo29
    oui desole $2/3$ at non pad 1/2
    mais 1/2+2/3=7/6
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Typo de ton côté et erreur de calcul du mien. Mais bon, tu as la solution avec le $2/3$...
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 11

Médiat_SuprèmeRescassolgai requin +8 Invités