Série convergente d'une sous-suite

Bonjour,

Si $x_{n}$ une suite convergente vers $0$. On sait qu'il existe une sous-suite $ (x_{k_{n}})_{n}$ telle que: la série $$ \sum_{n}x_{k_{n}} $$ converge. Par exemple : $$
\forall n ,\ \exists k_{n},\ \forall m \geq k_{n},\ |x_{k_{n}}| \leq 2^{-n} .
$$ Donc $\sum_{n}x_{k_{n}}$ converge.

Soit maintenant une suite $(f_{n})$ des fonctions de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ qui converge simplement vers la fonction nulle.

Question. Est-ce qu'on peut trouver une sous-suite de $ (f_{k_{n}})_{n}$ de $(f_{n})$ telle que: la série $\sum_{n}f_{k_{n}}$ converge simplement vers $f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ ?

Merci pour l'aide.