Série entière et fonction

Ça ressemble aux nombres de Catalan, on s'y ramène :\begin{align*}f(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\times\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^3},\\
g(x)=xf'(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\times\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^2},\\
h(x)=xg'(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\times\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\\
k(x)=h'(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^2}\times\Bigl(\frac{x^2}{4}\Bigr)^{n}
=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^2}y^n&\text{où}\ y=\frac{x^2}{4}.\end{align*}Là, on pose $y=x^2/4$ et on constate que \[h'(x)=C'(y)\quad\text{où}\quad
C(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}\frac{(2n)!}{(n!)^2}y^{n+1}=y\frac{1-(1-4y)^{1/2}}{2y}\](à peu de choses près la série génératrice des nombres de Catalan). On commence la remontée...
\[h'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad h(x)=\arcsin x,\quad g'(x)=\frac{\arcsin x}{x}\] et ça se gâte sérieusement pour intégrer.