Intégration de $\sin(x)^2/(a-\cos(x))$

kipgon · May 2018

Bonsoir à tous,
Je cherche à calculer l'intégrale suivante : \begin{equation}
\int_{\theta=0}^{2\pi}\frac{\sin^2\theta}{a-\cos\theta}\mathrm{d}\theta,
\end{equation} avec $a\in\mathbb{R}$ et $a\geq 1$.

Si $a=1$, il y a un truc puisque $\dfrac{\sin^2\theta}{1-\cos\theta}=\dfrac{1-\cos^2\theta}{1-\cos\theta}=\dfrac{(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)}{1-\cos\theta}=(1+\cos\theta)$ mais sans ça je sèche.

J'ai bien pensé au changement de variable $\theta=\tan\dfrac{x}{2}$ mais il ne me semble pas que ça puisse fonctionner puisque $\tan(0)=0$ et $\tan(\pi)=0$, il n'y aurait donc plus d'intervalle d'intégration.

Avez-vous une idée ?

[$\LaTeX$ fournit les commandes \sin, \cos, \tan qui gèrent les espacements. ;-) AD] $\leftarrow$ Effectivement, merci ;-)

Math Coss · May 2018

Faux problème, il n'y a qu'à couper l'intégrale en deux (et exploiter la périodicité et la parité) : \[\int_0^{2\pi}=\int_0^{\pi}+\int_\pi^{2\pi}=\int_0^\pi+\int_{-\pi}^0=2\int_0^\pi.\](Il y a peut-être mieux par ailleurs, hein, je ne dis pas ça...)

kipgon · May 2018

Certes, j'y ai également pensé mais $\tan\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ n'est pas définie, y a-t-il une parade ?

YvesM · May 2018

Bonjour,

Oublie les bornes et trouve une primitive. Tu peux changer le numérateur selon un cosinus, puis décomposer la fraction en éléments simples et enfin intégrer.
Puis tu mets les bornes. Tu démontres l’existence. Voilà !

Autre méthode : tu utilises la périodicité de l’integrande pour ramener les bornes dans $(0, \pi)$ ou un intervalle plus court encore. Pour cela, relation de Chasles et changement de variables.

zorg69 · May 2018

Pourquoi ne pas poser $u=\sin(\theta)$ ?

kipgon · May 2018

Il me semble que $u=\cos(\theta)$ est un meilleur choix, non ?

Dans ce cas, on obtient : \begin{equation}
\frac{\sin(\theta)^2}{a-\cos(\theta)}\mathrm{d}\theta
=\frac{\sqrt{1-\cos(\theta)^2}\sin(\theta)}{a-\cos(\theta)}\mathrm{d}\theta
=-\frac{\sqrt{1-u^2}}{a-u}\mathrm{d}u
\end{equation} Avec $u=\sin(\theta)$ en revanche, on obtient : \begin{equation}
\frac{\sin(\theta)^2}{a-\cos(\theta)}\mathrm{d}\theta
=\frac{u^2}{a\,\sqrt{1-u^2}-1+u^2}\mathrm{d}u
\end{equation} Mais je n'arrive à intégrer aucunes de ces expressions :-(...

john_john · May 2018

Pour connaître le bon changement de variable, règle de Bioche !

kipgon · May 2018

Oui bien justement, d'après les règles de Bioche ce serait $u=\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$ mais je ne comprends pas comment gérer le changement d'intervalle. Certes la fonction est symétrique sur $[0,2\pi]$ donc on peut se ramener à un calcul sur $[0,\pi]$ mais là ça cloche avec la tangente et je ne vois pas comment dépasser ce problème.

En faisant le calcul j'arrive à :
\begin{equation}
\frac{8u^2}{(1+u^2)^2[(a+1)u^2+a-1]}\mathrm{d}u
\end{equation}

Pourquoi pas me direz vous ! Mais je ne comprends pas comment gérer l'intervalle, pouvez vous m'aider sur ce point ?

noobey · May 2018

Hello !
Autre méthode un peu différente $$
\frac{\sin^2(x)}{1 - \cos(x)/a} = \sum_{n} \sin^2(x)\frac{\cos^n(x)}{a^n} = \sum_{n} \frac{\cos^n(x)-\cos^{n+2}(x)}{a^n}
$$ Maintenant essayons de calculer $\int_0^{2\pi} \cos^n(x)dx$
$\cos^n(x) = \frac{1}{2^n}(e^{ix} + e^{-ix})^n$
Quand tu développes avec Newton et que tu intègres il reste juste le terme qui fait que $e^{ikx}e^{-i(n-k)x}$ devienne égal à 1
Si $n$ est impair, l'intégrale vaut 0
Si $n = 2k, \displaystyle \int_0^{2\pi} \cos^n(x)dx = \frac{2\pi}{2^{2k}}\binom{2k}{k} $
Il reste $\displaystyle \sum_{n} \int \frac{\cos^n(x)-\cos^{n+2}(x)}{a^n} = \sum_{n} \int \frac{\cos^{2n}(x)-\cos^{2n+2}(x)}{a^{2n}} = \sum_{n} \frac{1}{a^{2n}}\frac{2\pi}{2^{2n}}\binom{2n}{n} - \ldots $
Cette première partie tu peux reconnaître le DSE de $\sqrt{1+x}$ en une certaine valeur.
La 2e partie est un peu plus pénible à calculer mais c'est la même idée.
Sauf erreur...

YvesM · May 2018

Bonjour,

De $\displaystyle \int_{0}^{2\pi}dx...$ tu passes à $\displaystyle 2 \int_{0}^{\pi}dx...$ par périodicité, puis à $\displaystyle 4 \int_{0}^{+\infty}{du\over 1+u^2}...$ par changement de variables $\displaystyle x \leadsto u$ avec $\displaystyle u = \tan {x \over 2}.$ Où est ton problème ?

Par ailleurs, tu n'as pas suivi ma proposition : intègre en $u$, puis revient en $x$ pour le résultat final : une primitive de l'intégrande. Encore une fois : où est le problème ?

Math Coss · May 2018

Bien vu !
Ce qui est amusant aussi, c'est que c'est la troisième apparition des nombres de Catalan (à $\varepsilon$ près) en 24 h après ici et là.

kipgon · May 2018

Bonjour YvesM,

Non en effet, il n'y a pas de problème, c'est que je suis idiot... 8-)

Je suis en train de me battre avec la décomposition, je reviendrai ;-)...

Je regarderai aussi plus tard la méthode proposée par noobey qui semble bien différente de ce que je connais !

kipgon · June 2018

Bien, donc je m'en suis sorti !
Pour ceux qui souhaiteraient la solution.

On se ramène à l'expression suivante par périodicité puis changement de variable $u=\tan\left(\frac{t}{2}\right)$ : \begin{equation}
\int_{\theta=0}^{2\pi}\frac{\sin^2\theta}{a-\cos\theta}\mathrm{d}\theta=2\int_{\theta=0}^{\pi}\frac{\sin^2\theta}{a-\cos\theta}\mathrm{d}\theta=2\int_{u=0}^{+\infty}\frac{8u^2}{(1+u^2)^2[(a+1)u^2+a-1]}\mathrm{d}u
\end{equation} La décomposition en éléments simple donne : \begin{equation}
\frac{8u^2}{(1+u^2)^2[(a+1)u^2+a-1]}=\frac{2(a-1)}{1+u^2}+\frac{4}{(1+u^2)^2}-\frac{2(a-1)(a+1)}{(a+1)u^2+a-1}
\end{equation} Chacune de ces primitives est connue. On trouve finalement : \begin{equation}
\int_{\theta=0}^{2\pi}\frac{\sin^2\theta}{a-\cos\theta}\mathrm{d}\theta=2\pi\left(a-\sqrt{a^2-1}\right)
\end{equation} Merci à tous pour vos aiguillages :-)

YvesM · June 2018

Bonjour,

Tu as écrit des typos... mais bon...

Une primitive de $\displaystyle x\mapsto {\sin^2 x \over a-\cos x}, a>1, x \in \R$ est $\displaystyle x \mapsto a x+ \sin x - 2 \sqrt{a^2-1} \arctan(\sqrt{{a+1 \over a-1}} \tan{x \over 2}), a>1, x \in \R \setminus \pi \Z $, n'est-ce pas ? Je l'ai trouvée par intégration et j'ai vérifié le résultat par dérivation.
La primitive est-elle continue en $\pi$ ? Que vaut donc $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} {\sin^2 x \over a-\cos x}dx, a>1$ ? Personnellement, j'utilise la parité et alors $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} {\sin^2 x \over a-\cos x}dx = 2 \int_{0}^{ \pi} {\sin^2 x \over a-\cos x}dx , a>1$ et le résultat vient tout seul.

kipgon · June 2018

Bonjour,

Pardon mais je ne comprends pas :

1) Que veux dire écrire des typos ?

2) La primitive est bien celle ci (après vérification car que je suis pas allé jusque là ! Je ne suis pas revenu en $\theta$)

3) Je n'ai pas regardé si cette primitive était continue puisque je ne suis pas allé jusque là.

4) Que vaut $\int_{\theta=0}^{2\pi}...\mathrm{d}\theta$ ? Et bien $2\pi\left(a-\sqrt{a^2-1}\right)$ !

5) Le résultat vient tout seul. Comment ça ? Sans passer par la décomposition ?

Merci pour ces précisions en tout cas :-)

YvesM · June 2018

Bonjour,

1) La faute typographique est dans le membre de droite, dans le troisième terme au dénominateur : c'est $u^2$ et non pas $u.$
2) Super.
3) C'est pour cela que je te l'indique. C'est la raison pour laquelle cette intégrale est difficile. Si on ne vérifie pas que l'intégrande est continu sur l'intervalle d'intégration (il ne l'est pas), on trouve un résultat faux puisqu'on écrit $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} dx f(x) = F(x)\mid_{0}^{2 \pi} =F(2\pi) - F(0) = 0.$
4) On utilise donc la parité pour s'assurer que l'intégrande est continu sur l'intervalle d'intégration : $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} dx f(x) =2 \int_{0}^{ \pi} dx f(x) =F(x)\mid_{0}^{ \pi}=F(\pi)-F(0) = 2\pi(a - \sqrt{a^2-1}).$
5) On peut utiliser la décomposition pour trouver une primitive, mais ce n'est pas obligatoire.

Bilan, mieux vaut vérifier que l'intégrande est continu quitte à couper par Chasles l'intégrale en intervalles où l'intégrande est continu.

Cyrano · June 2018

Juste une petite remarque au cas où. L'intégrale de $0$ à $2\pi$ fait furieusement penser à une 'intégrale sur un cercle. Une méthode classique est donc décrire les $\cos$ et les $\sin$ avec des $e^{i\theta}$ et ensuite passer en intégrale curviligne pour finalement appliquer le théorème des résidus.

kipgon · June 2018

Bonjour YvesM,

1) Merci pour la faute, je l'ai corrigée ;-)
3) et 4) J'avais bien remarqué que l'intégrale sur $[0,2\pi]$ donnait zero mais je n'avais pas compris pourquoi, je ferai beaucoup plus attention à la continuité de l'intégrande dorénavant. Ça me servira de leçon. Merci beaucoup pour cela.

Et bonjour Cyrano,

Merci pour cette proposition que j'essaierai d'étudier d'ici peu ;-)

zephir · June 2018

Bonsoir à tous,
Et si vous respectiez vos fondamentaux
On coupe de $0$ à $\pi$ et de $\pi$ à $2\pi$. Dans la seconde, on fait $\theta =\pi +u$ et on obtient : $ \displaystyle I = 2a \int_0^{\pi} \frac {\sin(u)^2}{a^2-\cos(u)^2}\,du$

Merci à Poirot ;-) de corriger mon LATEX défaillant.

La suite est élémentaire. On recoupe en deux, on déplace la deuxième pour arriver au facteur 4 au lieu de 2
et l'intégrale va de $0$ à $\pi/2$

YvesM · June 2018

Bonjour,

@zephir : tu peux finir ton calcul pour nous montrer le côté élémentaire ? Ou ton calcul n’aboutit pas ?

zephir · June 2018

YvesM : En 1973, un élève qui ne savait pas terminer sans réfléchir à partir de là se faisait virer à coup de pieds dans le ...
Aujourd'hui, avec le calcul formel, on ne fait plus car c'est "dégradant". J'explique :
Le numérateur $\sin(x)^2=(1-a^2)+(a^2-\cos(x)^2)$. Je te laisse la suite sachant que la dérivée de $\tan(x)$ est $\dfrac 1 {\cos(x)^2}$.

Sans plus de commentaire sur le côté élémentaire de la chose.
Évidemment, si tu ne connais pas l'identité de Jannet, tu auras du mal à t'en sortir.
Ah ! il faut supposer $a^2 >1$, sinon ça foire.

$2a$ devient $4a$ et les bornes $0$ et$\pi/2$. Je pense que là tu vas pouvoir terminer sans difficultés, avec un truc du style $\displaystyle \beta \int_0^{+\infty} \dfrac {dx} {x^2+\alpha^2}$ LATEX recommence à foirer.

zephir · June 2018

Sauf erreur, et tout calculs faits (2 lignes) $\quad I=2\pi(a-\sqrt {a^2-1})$

YvesM · June 2018

Bonjour,

C’est que j’observe que dans ton calcul, deux étapes sont inutiles. D’une part on peut très bien travailler avec les bornes $(0,\pi)$ et on n’a pas besoin de réduire de nouveau. D’autre part la formule de duplication du cosinus permet directement d'écrire $a-\cos x$ avec un cosinus carré d’argument $x/2$ et de finir le calcul comme tu le fais.

Bon, je ne veux pas polémiquer : tous les chemins mènent à Rome. Et ton approche est aussi valide que celle-ci ; mais je me demandais si tu finissais ton calcul d’une autre manière plus rapide.

kipgon · June 2018

Bonjour zephir,

Moi je n'ai pas du tout compris ta méthode ! Peut tu être plus clair pour les ignorants de la fameuse identité de Jannet et/ou pour ceux qui n'ont pas eu la chance de faire des mathématiques en l'an de grâce 1973 ;-) ?

YvesM · June 2018

Bonjour,

Tu dois un peu travailler si ça t’interesse et donc je n’écris pas le détail.
Cette intégrale est, une fois dépoussiérée, $\int {dx\over a-\cos x}$.
Elle se calcule de mille façons, mais la encore, une fois dépoussiérée, il s’agit de faire apparaître une cosinus carré. Par exemple, la formule de duplication est l’identité $\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2 \cos^2 x-1$. Elle est donc transformée en $\int {dx\over b-\cos^2 x}.$
L’integration est alors immédiate par la formule ${1\over \cos^2 x}=1+\tan^2 x$ (pour certaines valeurs de $x$). On divise numérateur et dénominateur par $\cos^2 x$ et l’integrale devient $\int {1+\tan^2 x\over c\pm \tan^2 x}dx$ et selon les signes du dénominateur, elle s'intègre soit en $\arctan(u \tan (v x))$ soit en argument sinus hyperbolique que l’on remplace volontiers par un logarithme en $\ln |{1-u \tan (v x) \over 1+u \tan (v x)}| $ ( avec valeur absolue).

Dans la recherche de la solution sur l’integrale particulière, on a donc à mettre un cosinus carré au dénominateur. Qu’on le veuille ou pas. Une solution est la formule de duplication du cosinus. Une autre solution, proposée par @zephir, est de couper en $\pi$ avec Chasles, puis de changer la variable $x \leadsto y$ avec $y=x-\pi$. Le signe du cosinus change au dénominateur et lorsque les deux integrandes sont mis au même dénominateur on trouve $(a-\cos x)(a+\cos x)$ et le tour est joué.
Si tu veux réviser tout ça, calcule ton intégrale pour $a<-1$ si elle existe.

kipgon · June 2018

L'idée de faire : \begin{equation}
\frac{\sin(x)^2}{a-\cos(x)}=\frac{1-\cos(x)^2}{a-\cos(x)}=\frac{1-a^2+a^2-\cos(x)^2}{a-\cos(x)}=\frac{1-a^2+(a+\cos(x))(a-\cos(x))}{a-\cos(x)}=\frac{1-a^2}{a-\cos(x)}+a+\cos(x)
\end{equation} est vraiment bonne (tu) !
Sinon ok, j'ai pigé les deux méthodes. Celle avec la formule de duplication qui donne : \begin{equation}
\frac{1-a^2}{a-\cos(x)}=(1-a)\frac{1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)^2}{\frac{a-1}{a+1}+\tan\left(\frac{x}{2}\right)^2}
\end{equation} et celle proposée par zephir qui donne : \begin{equation}
\int_0^{2\pi}\frac{\sin(x)^2}{a-\cos(x)}\mathrm{d}x=2a\int_0^{\pi}\frac{\sin(x)^2}{a^2-\cos(x)^2}\mathrm{d}x
\end{equation} Par contre les primitives ne sont pas du tout évidente, non ? Ou alors on repasse par le changement de variable $u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ ? Et qu'est-ce qui vous pousse spontanément à aller vers un $\cos(x)^2$ quand vous voyez l'expression de départ ? J'ai un peu de mal à voir pourquoi ce serait mieux de faire comme ça, mais je passe certainement à coté de quelque chose. Parce que la décomposition en éléments simples est certes fastidieuse mais au moins c'est systématique !

YvesM · June 2018

Bonjour,

Non la décomposition est pénible et non nécessaire.
La dérivée de $\arctan truc(x) $ est ${truc’(x)\over 1+ truc^2(x)}$ ; et on sait que la dérivée de $\tan x$ et $1+\tan^2(x)$ donc quand tu vois ${1+\tan^2(x/2) \over A+\tan^2(x/2)}$ tu vois la dérivée de truc au numérateur et c’est fini. Pas besoin de changement de variables...
ceci dit, si tu préfères tu peux poser un changement de variables.

kipgon · June 2018

Ah oui effectivement ! Bien vu B-) !

Merci pour tout :-) !

Intégration de $\sin(x)^2/(a-\cos(x))$

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 17