Règles d'intégration

Adaq
Adaq
dans Analyse
Bonjour,
Je regardais la correction d'un exercice d'intégration et je suis tombé sur cela : $$
\int_{0}^{2} e^{-t^2} dt - \int_{0}^{1} e^{-t^2} dt = \int_{0}^{2\sqrt a} \frac{1}{\sqrt a} e^{-t^2} dt - \int_{0}^{\sqrt a} \frac{1}{\sqrt a} e^{-t^2} dt
$$ J'ai voulu voir si cela fonctionnait vraiment avec toutes les fonctions et pour m'en convaincre j'ai écrit $\displaystyle \int_{0}^{2} x^2 dx = \int_{0}^{4} \frac{1}{2}x^2 dx$ et cela ne fonctionne pas puisque l'on a d'un côté $\frac{8}{3}$ et de l'autre $\frac{32}{3}$, à moins que cela soit $\displaystyle \int_{0}^{2} x^2 dx = \int_{0}^{4} \Big(\frac{1}{2}x\Big)^2 dx$, ce qui m'étonnerait puisqu'il n'y a pas de parenthèses dans le corrigé, je donne donc ma langue au chat.

Pourriez-vous donc m'aider à y voir plus clair ? Quelle est la règle qui permet de faire ce que ce corrigé indique ?

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Tout d'abord, tu as des $t$ et des $x$ en variables d'intégration, il faudrait corriger ça !

    Il s'agit vraisemblablement d'un oubli de l'auteur. Il voulait sûrement faire le changement de variable $x=\sqrt a t$, auquel cas on tombe sur $$\int_{0}^{2\sqrt a} \frac{1}{\sqrt a} e^{-x^2/a} dx - \int_{0}^{\sqrt a} \frac{1}{\sqrt a} e^{-x^2/a} dx.$$
  • gerard0
    gerard0
    [Edit : ceci n'est pas une réponse à Poirot, mais directement au premier message]

    Bonjour.

    N'importe comment, écrite ainsi, ta première égalité est évidente. Le premier membre vaut $2e^{-t^2}-e^{-t^2}$ ( car $e^{-t^2}$ est une constante puisqu'on intègre par rapport à x), le second vaut $2\sqrt a\frac 1 {\sqrt a}e^{-t^2}- \sqrt a\frac 1 {\sqrt a}e^{-t^2}$; dans les deux cas, après simplification évidente, on a comme valeur $e^{-t^2}$.

    Par contre, l'intégrale que tu prends pour généraliser n'est pas du même genre, puisque tu intègre une fonction de x par rapport à x.

    C'est apparemment un exercice sur l'apprentissage de ce qu'est "la variable d'intégration", qui apprend aussi à faire attention à ce qui est vraiment écrit. Tu n'y a pas fait attention. C'est la seule "méthode d'intégration" en cause : lire exactement l'énoncé.

    Cordialement.
  • Adaq
    Adaq
    Ah oui pardon, j'ai condensé les étapes inutiles pour ma question et du coup j'en ai oublié de changer les dx en dt, on intègre bien en fonction de $t$, pardon : $$
    \int_{0}^{2} e^{-t^2} dt - \int_{0}^{1} e^{-t^2} dt = \int_{0}^{2\sqrt a} \frac{1}{\sqrt a} e^{-t^2} dt - \int_{0}^{\sqrt a} \frac{1}{\sqrt a} e^{-t^2} dt
    $$ C'est cette égalité là que je ne comprends pas.
    Merci beaucoup d'avoir pris le temps de me lire !
  • gerard0
    gerard0
    C'est normal, elle est fausse !

    pour a=4
    $\int_{0}^{2} e^{-t^2} dt - \int_{0}^{1} e^{-t^2} dt \approx 0,135 $
    $ \int_{0}^{2\sqrt a} \frac{1}{\sqrt a} e^{-t^2} dt - \int_{0}^{\sqrt a} \frac{1}{\sqrt a} e^{-t^2} \approx 0,00207$

    Donc regarde un cours sur les changements de variable en intégration et l'explication de Poirot.

    Cordialement.
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