Équation différentielle pour série entière
Bonjour
Afin de déterminer la limite d'une série entière, on m'a demandé de vérifier qu'elle est bien solution d'une équation différentielle ci-dessous (cela n'a pas posé de problème à le montrer), puis on me demande de résoudre cette équation différentielle : $$
(E)\qquad x(x-4)y'+(x+2)y=2, \quad\text{pour }x>0.
$$ J'ai donc trouvé une solution de l'équation sans second membre qui est : $y=A \sqrt{\frac{x}{(4-x)^3}}$ avec $A \in \mathbb R$
Pour trouver une solution particulière de $(E)$, j'utilise la méthode de la constante variable en considérant $f(x)=A(x) \sqrt{\frac{x}{(4-x)^3}}$ solution de $(E)$.
Cela m'a amené à $A'(x)=-2\sqrt{\frac{4-x}{x^3}}$
Je n'arrive pas à en trouver la une primitive $A(x)$. Comment faire ?
Merci
Afin de déterminer la limite d'une série entière, on m'a demandé de vérifier qu'elle est bien solution d'une équation différentielle ci-dessous (cela n'a pas posé de problème à le montrer), puis on me demande de résoudre cette équation différentielle : $$
(E)\qquad x(x-4)y'+(x+2)y=2, \quad\text{pour }x>0.
$$ J'ai donc trouvé une solution de l'équation sans second membre qui est : $y=A \sqrt{\frac{x}{(4-x)^3}}$ avec $A \in \mathbb R$
Pour trouver une solution particulière de $(E)$, j'utilise la méthode de la constante variable en considérant $f(x)=A(x) \sqrt{\frac{x}{(4-x)^3}}$ solution de $(E)$.
Cela m'a amené à $A'(x)=-2\sqrt{\frac{4-x}{x^3}}$
Je n'arrive pas à en trouver la une primitive $A(x)$. Comment faire ?
Merci
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Réponses
Tu peux essayer de poser $u=\sqrt{\dfrac{4-x}{x}}$.
Cordialement,
Rescassol
Cordialement.
Pour intégrer, tu peux changer les variables en $x=4u^2$ et tu y vois plus clair pour une primitive explicite. Et la remarque de @gerard0 est importante sur le domaine de définition de la solution car $y$ doit être définie et dérivable sur cet intervalle (et donc continue) pour être solution de l'équation différentielle.
@gerard0 On m'a préalablement demandé de montrer que le rayon de convergence de la série entière était $4$ et l'équation différentielle doit être résolue pour $x>0$. Donc oui le raisonnement est bien sur $]0;4[$.
Pour trouver une primitive de $A'(x)=-2\sqrt{\frac{4-x}{x^3}}$
On pose $u=\sqrt{\frac{4-x}{x}}$ pour faire un changement de variable.
On a $\frac{dA}{dx}=-2\sqrt{\frac{4-x}{x^3}}=-\frac{2}{x^2} \sqrt{\frac{4-x}{x}}$
Calculons $\frac{du}{dx}=\frac{-x-(4-x)}{x^2} \frac{1}{2\sqrt{\frac{4-x}{x}}}=\frac{-2}{x^2} \sqrt{\frac{x}{4-x}}$
Ainsi $\frac{dA}{du}=\frac{\frac{dA}{dx}}{\frac{du}{dx}}=\frac{-\frac{2}{x^2} \sqrt{\frac{4-x}{x}}}{\frac{-2}{x^2} \sqrt{\frac{x}{4-x}}}=4-x$
On montre que $x=\frac{4}{u^2+1}$
Donc $\frac{dA}{du}=4-\frac{4}{u^2+1}$
De cette manière, $A(u)=4u-4Arctan(u) + K$
et $A(x)=4\sqrt{\frac{4-x}{x}}-4Arctan(\sqrt{\frac{4-x}{x}}) +K$
Avec $K \in \mathbb R$, on choisira $K=0$
Ainsi une solution particulière de l'équation différentielle $$
(E)\qquad x(x-4)y'+(x+2)y=2, \quad\text{pour }x>0.
$$
est $f(x)=A(x) \sqrt{\frac{x}{(4-x)^3}}=4(\sqrt{\frac{4-x}{x}}-Arctan(\sqrt{\frac{4-x}{x}}) ) \times \sqrt{\frac{x}{(4-x)^3}}$
On montre donc que l'ensemble des solutions de $(E)$ est (solution sans second membre + solution particulière avec second membre):
$y=A \sqrt{\frac{x}{(4-x)^3}} +4(\sqrt{\frac{4-x}{x}}-Arctan(\sqrt{\frac{4-x}{x}}) ) \times \sqrt{\frac{x}{(4-x)^3}}$
Ma question maintenant est de déterminer la constante $A \in \mathbb R$
Nous savons que pour $x \in ]0;4[$, $f(x)= \sum_{n \geq 0} a_nx^n$ avec $a_n=\frac{1}{C_{2n}^{n}}$.
Ainsi $f(0)=a_0=\frac{1}{C_0^0}=1$
Mais cela n'aide pas à trouver $A$ car le terme qui le contient s'annule en 0.
Comment faire?
Tu écris que $\displaystyle f(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n, x \in ]0, 4[, a_n = 1/C_{2n}^{n}, n \in \N$ mais pour $\displaystyle x=1$, on a $\displaystyle f(1) = \sum_{n \geq 0} {(n!)^2 \over (2n)!}$ qui diverge trivialement... converge. On le vérifie par la formule de Stirling.
J'ai repris tous les calculs. On trouve une solution pour $\displaystyle ]0,4[$ et une autre pour $\displaystyle ]4, +\infty[$ : on peut imposer que la solution sur $\displaystyle ]0,4[$ reste finie en $\displaystyle 4^-$ avec comme constante $\displaystyle -2 \pi$ : $\displaystyle f(x) = {4 \over 4-x} + 4 {\sqrt{x} \over (4-x)^{3/2}} \arcsin {\sqrt{x} \over 2} - 2 \pi {\sqrt{x} \over (4-x)^{3/2}}, x \in ]0, 4[.$ La dérivée $f'$ est aussi finie en $\displaystyle 4^-.$
@math65 : une condition nécessaire pour que ta fonction solution de l'équation différentielle soit celle qui est la somme de la série entière dont tu parles est qu'elle soit de classe $C^{\infty}$ sur $\left]-4,4\right[$ et en particulier qu'elle soit dérivable en 0.
Cela donne la condition que tu cherches sur la valeur de $A$.
Quand on recherche ce genre de solutions, on procède de cette façon :
Enfin, ici, je suppose qu'il s'agit de terminer par le calcul de la valeur de $f(1)$...
@bisam : merci, c'est effectivement une erreur de ma part sur la formule de Stirling. C'est corrigé. Pour la constante, on peut la fixer pour imposer une valeur finie en $4^-.$ Ne reste plus qu'à vérifier la continuité de la fonction et de sa dérivée en $4.$
Pas besoin de Stirling pour voir que $$ \frac{(n!)^2}{(2n)!}= \frac{(n!)^2}{(2n-1)!!\, 2^nn!}\leq \frac1{2^n}\;.$$
@bisam
On peut écrire la solution de $(E)$ sous la forme :
$y=\frac{1}{4-x}\times (A\sqrt{\frac{x}{4-x}}+4-4\sqrt{\frac{x}{4-x}}Arctan(\sqrt{\frac{4-x}{x}}))$
puisque $$
(E)\qquad x(x-4)y'+(x+2)y=2, \quad\text{pour }x>0.
$$
alors $y'=\frac{2-(x+2)y}{x(x-4)}$
J'ai un peu de difficulté à calculer la limite de $y'$ lorsque $x$ tend vers $0$ qui sera $y'(0)=a_1=\frac{1}{C^1_2}=\frac{1}{2}$
Cela devrait me permettre de trouver la constance $A$?
Tu dois d'abord prolonger par continuité la solution trouvée en $0$ (sinon tu ne peux pas calculer $\displaystyle y(0)$). Comme $\displaystyle y(x) \to 1, (x \to 0^+)$ alors tu peux poser $\displaystyle y(0) = 1.$ Mais tu dois d'abord démontrer que c'est bien la limite, l'as-tu fait ?
Soit tu calcules la dérivée $y'$ puisque tu as $y$ et tu sais que $\displaystyle y'(x) = {2-(x+2) y(x) \over x(x-4)}, x \in ]0,4[.$ Puis tu calcules la limite de $y'$ en $0$...
Une autre solution est d'utiliser la règle de l'Hôpital à partir de $\displaystyle y'(x) = {2-(x+2) y(x) \over x(x-4)}$ pour montrer que $y'(0) = 1/2.$ Puis tu identifies $A.$
Enfin, pour y voir plus clair, je te suggère d'utiliser $\displaystyle \arctan x = {\pi \over 2} - \arctan {1 \over x}, x >0$ qui te permet de faire apparaître la quantité $\displaystyle A - 2 \pi.$ Le développement limité est un peu long, moi je trouve $\displaystyle y(x) \sim {A - 2\pi \over 16 \sqrt{x}}, x \to 0^+$, et toi ?
Pour tout $n\in\N$, on pose $a_n=\frac{1}{\binom{2n}{n}}=\frac{(n!)^2}{(2n)!}$.
La série entière $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n x^n$ est alors de rayon égal à 4 et on peut nommer $f$ sa somme sur l'intervalle $I=\left]-4,4\right[$.
On vérifie alors que sur $I$, la fonction $f$ vérifie l'équation différentielle $(E)$ de ton premier message.
Le but étant d'obtenir une autre information sur la fonction$f$, on résout l'équation différentielle $(E)$.
Pour cela, on distingue d'abord la résolution sur les intervalles $J_1=\left]-\infty,0\right[$, $J_2=\left]0,4\right[$ et $J_3=\left]4,+\infty\right[$.
Pour identifier $f$, on cherche ensuite les fonctions qui sont solutions de $(E)$ sur l'intervalle $I$ (puisque $f$ en fait partie !). La fonction $f$ (ou plus exactement sa restriction à l'intervalle $J_2$) est donc non seulement solution sur $J_2$ mais également continue et dérivable en $0$ (et aussi solution sur une partie de $J_1$ mais ce n'est pas nécessaire pour ce qu'on cherche ici). Dans le cas qui nous intéresse, cela permet d'identifier la fonction $f$ (ou plus exactement sa restriction à l'intervalle $J_2$) parmi toutes les solutions trouvées à l'équation $(E)$ sur l'intervalle $J_2$.
En faisant cela, tu remarqueras que la condition de dérivabilité en 0 est incompatible avec celle de continuité en 4... mais on s'en fiche car rien n'indique que $f$ soit continue en 4.
On a $y=\frac{1}{4-x}\times (A\sqrt{\frac{x}{4-x}}+4-4\sqrt{\frac{x}{4-x}}Arctan(\sqrt{\frac{4-x}{x}}))$
et
$y'=\frac{2-(x+2)y}{x(x-4)}$
Cela donne après plusieurs calculs :
$y'=\frac{1}{(4-x)^2} \times (6 + (x+2)\sqrt{\frac{1}{x(4-x)}}(A-4Arctan(\sqrt{\frac{4-x}{x}})$
Puisque $Arctan(\sqrt{\frac{4-x}{x}})=\frac{\pi}{2} - Arctan(\sqrt{\frac{x}{4-x}})$
On obtient alors
$y'=\frac{1}{(4-x)^2} \times (6 + (x+2)\sqrt{\frac{1}{x(4-x)}}(A-4(\frac{\pi}{2} - Arctan(\sqrt{\frac{x}{4-x}})))=\frac{1}{(4-x)^2} \times (6 + (x+2)\sqrt{\frac{1}{x(4-x)}}(A-2\pi + 4Arctan(\sqrt{\frac{x}{4-x}})))$
En $0$, $Arctan(\sqrt{\frac{x}{4-x}})$ est équivalent à $\sqrt{\frac{x}{4-x}}$
Donc en $0$, $y'$ est équivalent à $\frac{1}{(4-x)^2} \times (6 + (x+2)\sqrt{\frac{1}{x(4-x)}}(A-2\pi + 4\sqrt{\frac{x}{4-x}}))$
Si $A \neq 2\pi$ alors $y'$ n'a pas de limite finie en $0$.
Sinon,$\lim\limits_{x \to 0} y' = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{(4-x)^2} \times (6 + (x+2)\sqrt{\frac{1}{x(4-x)}}(4\sqrt{\frac{x}{4-x}})) = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{(4-x)^2} \times (6 + (x+2)(4\frac{1}{4-x})) = \frac{1}{(4)^2} \times (6 + (2)(4\frac{1}{4}))=\frac{1}{2}=a_1=\frac{1}{C^1_2} $
La fonction $y'$ doit être prolonger par continuité en $0$.
On trouve donc
$y=\frac{1}{4-x}\times (2\pi\sqrt{\frac{x}{4-x}}+4-4\sqrt{\frac{x}{4-x}}Arctan(\sqrt{\frac{4-x}{x}}))$
La question finale de cet exercice est de déterminer $\sum_{n \geq 0} a_n=\sum_{n \geq 0} \frac{1}{C_{2n}^{n}}$
puisque pour tout $x \in ]0;4[$, $f(x)= \sum_{n \geq 0} \frac{1}{C_{2n}^{n}}x^n=y(x)=\frac{1}{4-x}\times (2\pi\sqrt{\frac{x}{4-x}}+4-4\sqrt{\frac{x}{4-x}}Arctan(\sqrt{\frac{4-x}{x}}))$
Alors, $\sum_{n \geq 0} \frac{1}{C_{2n}^{n}}=y(1)=\frac{1}{4-1}\times (2\pi\sqrt{\frac{1}{4-1}}+4-4\sqrt{\frac{1}{4-1}}Arctan(\sqrt{\frac{4-1}{1}}))=\frac{1}{3}\times (2\pi\sqrt{\frac{1}{3}}+4-4\sqrt{\frac{1}{3}}\frac{\pi}{3} ))=\frac{1}{3}\times (\frac{2}{3}\pi\sqrt{\frac{1}{3}}+4)$
Par ailleurs, tu parles d'équivalents... mais tu fais plein d'opérations non compatibles avec des équivalents, en particulier des sommes.
Reprenant ce que j'avais écrit, voici comment je rédigerais :
Puisque $f$ est solution de $(E)$ sur $J_2=\left]0,4\right[$, il existe un réel $A$ tel que $$\forall x \in J_2, f(x)=\frac{4}{4-x}\left(1+\sqrt{\frac{x}{4-x}}\left(A+\arctan\left(\sqrt{\frac{x}{4-x}}\right)\right)\right)$$
De plus, $f(0)=a_0=1$ et $f$ est dérivable en 0 donc, en particulier, $\frac{f(x)-1}{\sqrt{x}}=\frac{f(x)-1}{x} \times \sqrt{x}$ possède une limite nulle en $0^+$. Or $$\forall x \in J_2, \frac{f(x)-1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{4-x}\left(\sqrt{x}+\frac{4}{\sqrt{4-x}}\left(A+\arctan\left(\sqrt{\frac{x}{4-x}}\right)\right)\right)$$
Donc $\frac{f(x)-1}{\sqrt{x}}\rightarrow \frac{A}{2}$ d'où $A=0$, par unicité de la limite.
Ainsi, en particulier $$\sum_{k=0}^{+\infty}a_k = f(1)=\frac{4}{4-1}\left(1+\sqrt{\frac{1}{4-1}}\arctan\left(\sqrt{\frac{1}{4-1}}\right)\right)=\frac{4\pi\sqrt{3}+72}{54}$$
On vérifie par le calcul d'une valeur approchée de la somme que cette valeur convient. En effet, la somme converge très rapidement, et une vingtaine de termes suffisent à donner 12 décimales exactes.
Peut-être que je me trompe mais
$\forall x \in ]0;4[, f(x)=\frac{4}{4-x}\left(1+\sqrt{\frac{x}{4-x}}\left(\frac{A}{4}+\arctan\left(\sqrt{\frac{4-x}{x}}\right)\right)\right)$
et non :
$\forall x \in ]0;4[, f(x)=\frac{4}{4-x}\left(1+\sqrt{\frac{x}{4-x}}\left(A+\arctan\left(\sqrt{\frac{x}{4-x}}\right)\right)\right)$
En utilisant ta technique (plus simple), je retombe sur le même résultat que j'avais trouvé avant :
$\forall x \in ]0;4[, \frac{f(x)-1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{4-x}\left(\sqrt{x}+\frac{4}{\sqrt{4-x}}\left(\frac{A}{4}+\arctan\left(\sqrt{\frac{4-x}{x}}\right)\right)\right)$
Donc $\frac{f(x)-1}{\sqrt{x}}\rightarrow \frac{A}{4}-\frac{\pi}{2}$ d'où $A=2 \pi$
On retombe donc sur $\sum_{n \geq 0} \frac{1}{C_{2n}^{n}}=y(1)=\frac{1}{4-1}\times (2\pi\sqrt{\frac{1}{4-1}}+4-4\sqrt{\frac{1}{4-1}}Arctan(\sqrt{\frac{4-1}{1}}))=\frac{1}{3}\times (2\pi\sqrt{\frac{1}{3}}+4-4\sqrt{\frac{1}{3}}\frac{\pi}{3} ))=\frac{1}{3}\times (\frac{2}{3}\pi\sqrt{\frac{1}{3}}+4)$
non?
est-ce bon ou pas?
Je n'ai pas détaillé comment j'ai trouvé et simplifié la solution de l'équation différentielle mais je crois avoir utilisé au moins une fois le fait que $\forall x>0, \arctan(\frac{1}{x})=\frac{\pi}{2}-\arctan(x)$... donc il se peut que ta réponse proche de la mienne soit en fait la même à une erreur de copie du signe près.
pardon, je n'avais pas vu que l'on trouvait le même résultat...