Espace de Hölder : Wikipédia français/anglais

Bonjour,

L'objet de ce post est de comparer la façon dont sont exposées les propriétés d'holdérianité dans les articles Wikipédia, respectivement :

• français : Condition de Hölder
• anglais : Hölder condition

En particulier je m'intéresse au premier exemple de la page en anglais :

Wikipédia anglais : Exemple 1 a écrit:

If $0\leqslant \alpha\leqslant \beta\leqslant 1$ then all ${\displaystyle C^{0,\beta }({\overline {\Omega }})}$ Hölder continuous functions on a bounded set $\Omega$ are also ${\displaystyle C^{0,\alpha }({\overline {\Omega }})}$ Hölder continuous. This also includes $\beta=1$ and therefore all Lipschitz continuous functions on a bounded set are also ${\displaystyle C^{0,\alpha }}$ Hölder continuous.

Cette propriété est un corollaire du résultat suivant :

Wikipédia anglais : Compact embedding of Hölder spaces a écrit:

Let $\Omega$ be a bounded subset of some Euclidean space (or more generally, any totally bounded metric space) and let $0\leqslant \alpha< \beta\leqslant 1$ two Hölder exponents. Then, there is an obvious inclusion map of the corresponding Hölder spaces:
$${\displaystyle C^{0,\beta }(\Omega )\to C^{0,\alpha }(\Omega ),}$$
which is continuous since, by definition of the Hölder norms, the inequality
$${\displaystyle |f|_{0,\alpha ,\Omega }\leq \mathrm {diam} (\Omega )^{\beta -\alpha }|f|_{0,\beta ,\Omega }}$$
holds for all $f$ in ${\displaystyle C^{0,\beta }}$.

L'hypothèse de bornitude du domaine $\Omega$ est importante, comme illustré par le contre-exemple que voici :

Wikipédia anglais : contre-exemple sur domaine non borné a écrit:

The function $f(x) = x^{\beta}$ (with $\beta\leqslant 1$) defined on [0, 1] serves as a prototypical example of a function that is ${\displaystyle C^{0,\alpha }}$ Hölder continuous for $0\leqslant \alpha\leqslant \beta$, but not for $\alpha> \beta$. Further, if we defined $f$ analogously on ${\displaystyle [0,\infty )}$, it would be ${\displaystyle C^{0,\alpha }}$ Hölder continuous only for $\alpha=\beta$.

(A noter que la bornitude du domaine entraine nécessairement celle de la fonction holdérienne définie sur celui-ci)

Dans la page en français les choses sont présentées différemment :

Wikipédia français : Sur le paramètre $\\alpha$ a écrit:

La plage de valeurs du paramètre $a\in ]0, 1]$ pour lesquelles $f$ est $\alpha$-höldérienne est un sous-intervalle (non nécessairement fermé, mais pouvant aussi être trivial) de $]0,1]$ ; autrement dit, c'est un sous-ensemble convexe :

si $0 < \alpha < \beta \leqslant 1$ et si $f$ est à la fois $\alpha$-höldérienne et $\beta$-höldérienne, alors elle est $\gamma$-höldérienne pour tout $\gamma\in [\alpha,\beta]$.

Certains auteurs incluent dans la définition la valeur $\alpha = 0$. Les fonctions 0-höldériennes sont alors simplement les fonctions bornées, et la propriété précédente s'étend naturellement : si $f$ est $\beta$-höldérienne et bornée, alors elle est $\alpha$-höldérienne pour tout $\alpha \in [0, \beta]$.

Preuve : Soit $f$ $\alpha$-höldérienne et $\beta$-höldérienne non nécessairement bornée, définie sur un domaine $\Omega$ non nécessairement borné. Soit $\gamma\in [\alpha,\beta]$, on a :

$$\sup_{ x,y \in \Omega ,\; x \neq y} \frac{ |f(x) -f(y)|}{|x-y|^\gamma}\le \sup_{ x,y \in \Omega,\; |x -y|\le1} \frac{ |f(x) -f(y)|}{|x-y|^\gamma}+\sup_{ x,y \in \Omega ,\; |x -y|\ge1} \frac{ |f(x) -f(y)|}{|x-y|^\gamma}$$

Or $|x-y|^\gamma\ge |x-y|^\alpha$ pour $|x-y|\ge 1$. On obtient ainsi $$\sup_{ x,y \in \Omega ,\; |x -y|\ge1} \frac{ |f(x) -f(y)|}{|x-y|^\gamma} \le \sup_{ x,y \in \Omega,\; |x -y|\ge1} \frac{ |f(x) -f(y)|}{|x-y|^\alpha}\le \sup_{ x,y \in \Omega,\; x \neq y} \frac{ |f(x) -f(y)|}{|x-y|^\alpha}<+\infty $$


et pour $|x-y|\le 1$ et $0 < \alpha \le \gamma\le \beta \leq 1.$ on a
$$|x-y|^{\beta-\gamma}\le1\implies |x-y|^{\beta}\le|x-y|^{\gamma}$$

Par conséquent, $$\sup_{ x,y \in \Omega ,\; |x -y|\le1} \frac{ |f(x) -f(y)|}{|x-y|^\gamma}\le \sup_{ x,y \in \Omega,\; |x -y|\le1} \frac{ |f(x) -f(y)|}{|x-y|^\beta}\le \sup_{ x,y \in \Omega,\; x \neq y} \frac{ |f(x) -f(y)|}{|x-y|^\beta}<+\infty$$
ce qui achève la preuve et montre que $f$ est $\gamma$-holdérienne.

Le cas $\alpha=0$ correspondant au cas où $f$ est bornée est également vérifiée dans cette preuve.

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Selon moi ce résultat est plus intéressant que celui de l'Exemple 1 de la page en anglais, car il ne fait pas d'hypothèse de bornitude sur le domaine $\Omega$, et de plus on retrouve le résultat dans le cas où $\Omega$ est borné, car alors $f$ l'est également si $f$ est $\beta$-höldérienne, donc $f$ est 0-höldérienne et on applique la propriété démontrée.

Qu'en pensez-vous ?