Évolution sous l'équation de la chaleur

Bonjour
Voici mon problème :

Soient $a$ et $p$ deux réels positifs supérieurs à $1$. Je me donne $(M, g)$ une variété (compacte pour simplifier).
Pour toute fonction $u$ positive sur $M$, je pose $$
J(u) = \int_M \left|\nabla (u^a)\right|^p d\mu^g
$$ Je suppose maintenant que $(u_t)_{t \geq 0}$ est solution de l'équation de la chaleur avec comme donnée initiale $u_0 > 0$ : $$
u_t = e^{t \Delta} u_0
$$ Est-il possible de montrer qu'il existe une constante $\lambda > 0$ indépendante de $u_0$ telle que, pour tout $t \geq 0$, $$
J(u_t) \leq e^{\lambda t} J(u_0).
$$ Notes :
- Le calcul de la dérivée de $J(u_t)$ ne donne rien de probant... il faut sans doute essayer d'utiliser d'autres propriétés de l'équation de la chaleur (semi-groupe ou autre).
- Le problème initial est justement de montrer que la dérivée de $J(u_t)$ en $t=0$ est contrôlable dans un certain sens. Ceci conduit à une estimation de gradient pour l'équation de Lichnerowicz (voir par exemple https://arxiv.org/abs/1403.5655 ).
- Je serais heureux d'ajouter celui ou celle qui trouvera la solution à la liste des auteurs du (futur) article où cette question apparaît.

Dans le cas p=2, un argument tout bête d'intégration par partie montre que c'est équivalent à montrer que $$
t \mapsto \int_M |u|^{2a} d\mu^g
$$ est une fonction convexe. Est-ce que la convexité de cette fonction est quelque chose de connu ?