pour $\alpha=0.5$ la fonction associée est $\sqrt{y}$ et elle est strictement croissante sur $[0,+\infty[$.
On a $f'(y)= \alpha y^{\alpha - 1}$. La fonction $f(y)= y^{\alpha}$ est définit sur $\R$ mais sa dérivée est définie sur $]0,+\infty[$ on regarde la monotonie sur $\R$ ou sur $]0,+\infty[$?:-S
donc $f(y)= y^{\alpha}$ est définie sur $[0,+\infty[$ quand $0 < \alpha < 1$!
Pour la monotonie, on a $f'(y)= \alpha y^{\alpha -1} > 0$ qui veut dire que $f$ est croissante. C'est tout bon?
Pour la fonction $$
f(y)
=
\begin{cases}
\sqrt{y} &: y \geq 0\\
-\sqrt{|y|} &: y \leq 0
\end{cases}
$$ comment on voit si elle est croissante ou décroissante ? La difficulté est qu'elle est définie de deux façons différentes.
$\bullet$ si $y_1 < y_2 \leq 0$ alors $|y_1| > |y_2|$ implique $\sqrt{|y_1|} > \sqrt{|y_2|}$ implique $- \sqrt{|y_1|} <- \sqrt{|y_2|}$ donc la fonction est décroissante sur cet intervalle.
$\bullet$ Si $0\leq y_1 < y_2$ alors $|y_1| < |y_2|$ implique $\sqrt{|y_1|} < \sqrt{|y_2|}$ donc a fonction est croissante sur cet intervalle.
$\bullet$ Si $y_1 \leq 0 \leq y_2$ alors $-\sqrt{|y_1|} < \sqrt{|y_2|}$ donc croissante sur cet intervalle.
On conclut que $f$ est croissante sur $\R$. C'est tout bon? Il y a une manière plus rapide pour remarquer la croissance de cette fonction?
C'est tout bon, à part le fait que dans le premier cas tu finis par dire que la fonction est décroissante au lieu de croissante. Ici en dérivant (sauf en $0$) c'est plus rapide, et remarquer que la fonction est clairement "croissante vis-à-vis de $0$".
Dans le premier cas, il faut remplacer "implique" par "donc". En effet,
"implique" n'est pas une conjonction, c'est un verbe ; on ne peut pas utiliser un verbe comme "mange" entre entre deux propositions, n'est-ce pas ?
le connecteur $\implies$ n'est pas un synonyme de "donc" :
quand on écrit « $A\implies B$ », on écrit que si $A$ est vrai, alors $B$ est vrai mais on n'écrit pas que $A$ est vrai ;
au contraire, quand on écrit « $A$ donc $B$ », on écrit que $A$ est vrai, on sous-entend que l'on sait que $A\implies B$ et on en déduit que $B$ est vrai.
Dans le deuxième cas, pourquoi mettre des valeurs absolues puisque $y_1$ et $y_2$ sont positifs ? Idem dans le troisième cas pour $y_2$.
Réponses
On a $f'(y)= \alpha y^{\alpha - 1}$. La fonction $f(y)= y^{\alpha}$ est définit sur $\R$ mais sa dérivée est définie sur $]0,+\infty[$ on regarde la monotonie sur $\R$ ou sur $]0,+\infty[$?:-S
Pour la monotonie, on a $f'(y)= \alpha y^{\alpha -1} > 0$ qui veut dire que $f$ est croissante. C'est tout bon?
Remarquons que $\forall x\geq 0,\ y > x,\ \dfrac{f(x)}{f(y)} = \Big( \dfrac{x}{y} \Big)^\alpha$
Mais $\dfrac{x}{y} < 1$, donc $\Big( \dfrac{x}{y} \Big)^\alpha < 1$, d'où $f(x) < f(y)$. cqfd.
f(y)
=
\begin{cases}
\sqrt{y} &: y \geq 0\\
-\sqrt{|y|} &: y \leq 0
\end{cases}
$$ comment on voit si elle est croissante ou décroissante ? La difficulté est qu'elle est définie de deux façons différentes.
- si $y_1<y_2\le0$, alors...
- si $y_1\le 0\le y_2$ alors...
- si $0\le y_1<y_2$ alors...
Si tu ne vois pas comment compléter les points de suspension, commence par faire un dessin !$\bullet$ Si $0\leq y_1 < y_2$ alors $|y_1| < |y_2|$ implique $\sqrt{|y_1|} < \sqrt{|y_2|}$ donc a fonction est croissante sur cet intervalle.
$\bullet$ Si $y_1 \leq 0 \leq y_2$ alors $-\sqrt{|y_1|} < \sqrt{|y_2|}$ donc croissante sur cet intervalle.
On conclut que $f$ est croissante sur $\R$. C'est tout bon? Il y a une manière plus rapide pour remarquer la croissance de cette fonction?
quand on écrit « $A\implies B$ », on écrit que si $A$ est vrai, alors $B$ est vrai mais on n'écrit pas que $A$ est vrai ;
au contraire, quand on écrit « $A$ donc $B$ », on écrit que $A$ est vrai, on sous-entend que l'on sait que $A\implies B$ et on en déduit que $B$ est vrai.
Dans le deuxième cas, pourquoi mettre des valeurs absolues puisque $y_1$ et $y_2$ sont positifs ? Idem dans le troisième cas pour $y_2$.
Mais tu as vu l'essentiel.