Fonction réciproque

Ou encore : $\quad x \mapsto 1789-x$

Non, une involution.

bonsoir

les fonctions homographiques f définies avec a > 0 et x > - a par : $$f(x) = \frac{-ax}{a+x}$$

sont telles que leur inverse est égale à elle-même

cordialement

Oui. [Pour qu'une homographie soit d'ordre $2$,] il est nécessaire et suffisant que la matrice correspondante soit de trace nulle (c'est-à-dire $x\mapsto \frac{ax+b}{cx-a}$ avec $-a^2-bc\ne0$). Saurais-tu l'expliquer avec le théorème de Cayley-Hamilton ?

[Edit tardif : ajout du contenu du crochet pour exclure l'identité, cf. plus bas.]

Comme un lycéen je raisonne comme suit: soit $f(x):=\frac{ax+b}{cx+d}$
Je suppose que ad-bc non nul pour ne pas tomber sur une fonction constante
Premier cas $c=0$ dans ce cas f est affine et il est facile de démontrer que les seules fonctions affines égales à leurs réciproques est $\pm id$
Deuxième cas $c\neq 0$
1)f est définie sur $\R / \{\frac {-d}c\}$
2) f réalise une bijection de $\R / \{\frac {-d}c\}$ sur $\R / \{\frac {a}c\}$
3) $\forall x\in \R / \{\frac {a}c\},\, f^{-1}(x)= \frac{dx-b}{-cx+a}$
4)$\forall x\in \R / \{ \{\frac {-d}c\} , \{\frac {a}c\}, \}$, $f(x)=f^{-1}(x) \iff \frac{ax+b}{cx+d}= \frac{dx-b}{-cx+a},\, \forall x\in \R / \{ \{\frac {-d}c\} , \{\frac {a}c\}, \}$
En passant à la limite en l'infini on doit avoir $a+d=0$ et il s’avère aussi que c'est une condition suffisante

Je vais voir pour C.H

qu'est ce que tu penses de l'homographie associée à $A$ comparée a celle associée a $2A$ ?

Tu as presque répondu, en fait.
En parlant d'unicité, tu as vu que les homographies associées à $A$ et à $\lambda A$ sont égales. En particulier, toutes les matrices de la forme $\lambda\mathrm{I}_2$ correspondent à l'identité. On peut aller un tout petit peu plus loin en vérifiant la réciproque : ce sont les seules.
Tu as vu par ailleurs que si $f$ vient de la matrice $A$, l'homographie $f\circ f$ vient de la matrice $A^2$.

Pour décrire les involutions, la question est donc : pour quelles matrices $A$ est-ce que $A^2$ est de la forme $\lambda\mathrm{I}_2$ pour $\lambda$ convenable ? Avec le théorème de Cayley-Hamilton, cela revient à demander : pour quelles $A$ existe-t-il $\lambda$ tel que $\mathrm{tr}(A)\cdot A=(\lambda+\det(A))\mathrm{I_2}$ ?
Si $\mathrm{tr}(A)=0$, il suffit de prendre $\lambda=-\det(A)$ et cela marche ; si $\mathrm{tr}(A)\ne0$, alors l'égalité force $A$ à être de la forme $\mu\mathrm{I}_2$, mais alors $f$ est déjà l'identité et on ne parle pas d'involution.
Bilan : les homographies sont associées aux matrices de trace nulle.

Je ne comprends pas toujours, avec ce raisonnement matricielle , tu écartes d'office l'identité $x\to x$ ( Trace non nulle) comme solution de notre problème ( Dom sera furieux :-Dhttp://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1660724,1660754#msg-1660754) Pourtant l’identité est une fonction homographique égale à sa réciproque

Avec quoi n'es-tu pas d'accord ? Que veux-tu dire ? Comme on peut lire « moins l'identité » dans le groupe des matrices et dans le groupe des homographies, il y a ambiguïté...

La matrice $-\mathrm{I}_2$ est bien de la forme $\lambda\mathrm{I}_2$ et l'homographie associée est l'identité.

L'application $x\mapsto -x$ est bien une homographie involutive et elle provient de la matrice $\left(\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\end{smallmatrix}\right)$ qui est de trace nulle, conformément à la discussion ci-dessus. Elle ne provient pas d'une matrice de la forme $\lambda\mathrm{I}_2$.

Ensuite, si j'ai exclu l'identité, c'est pour que la réponse soit plus jolie. Ce que montre le théorème de Cayley-Hamilton, c'est que les homographies involutives (d'ordre $2$) correspondent aux matrices de trace nulle. L'étape « préliminaire » montre que l'homographie d'ordre $1$ (l'identité) correspond aux matrices scalaires ($\lambda\mathrm{I}_2$ pour $\lambda\in\R^*$).

Enfin, il est bien clair que le théorème de Cayley-Hamilton n'est pas nécessaire pour cette affaire et que le raisonnement élémentaire que tu as mené fait bien l'affaire. Néanmoins, une fois qu'on a vu que l'application qui envoie une matrice sur une homographie est un morphisme de groupes, le théorème de Cayley-Hamilton est quand même assez saisissant pour décrire les involutions.
De plus, il s'intègre bien dans la philosophie qui consiste à utiliser la réduction des matrices $2\times2$ pour étudier les suites homographiques $u_{n+1}=\frac{au_n+b}{cu_n+d}$ (qui permet de comprendre pourquoi introduire $v_n=\frac{u_n-z_1}{u_n-z_2}$ où $z_1$ et $z_2$ sont les points fixes de l'homographie (quand il y en a bien deux)).