Dérivées partielles et difféomorphisme

Bonjour !
Dans ce genre de calculs il est préférable de bien distinguer les variables et les fonctions et ne pas "simplifier" en $\partial_x$ une dérivée partielle.

Dans ton cas $f$ est un couple de deux fonctions à valeurs réelles : par exemple $f=(a,b),\;a(x,y)=...,\;b(x,y)=...$
De même $g=(u,v)$ en évitant d'utiliser les lettres $x,y$ pour désigner les variables pour écrire $u,v$.

Tu dois avoir $f_{\circ}g=\mathrm{Id}_V$ soit : $(s,t)=f(g(s,t))=(f(u(s,t),v(s,t)))=(a...,b...)$ soit
$s=a(u(s,t),v(s,t))$ et $t=b(u(s,t),v(s,t))$

En notant $\partial_1$ etc les dérivées partielles tu as donc, en dérivant par rapport à $s$ :
$1=\partial_1a(u,v)\partial_1 u(s,t)+\partial_2a(u,v)\partial_1v(s,t)$ ou encore $1=(1+2u(s,t))\partial_1u(s,t)+3v^2(s,t)\partial_1v(s,t)$

Puis en dérivant par rapport à $t$ :
$0=2\partial_2u(s,t)\partial_1u(s,t)+(1+2u(s,t))\partial_{2,1}u(s,t)+6v(s,t)\partial_2v(s,t)\partial_1v(s,t)+3v^2(s,t)\partial_{2,1}v(s,t)$

Tu as une deuxième relation analogue en dérivant $t=b(...)$ et tu devrais pouvoir évaluer les dérivées demandées par élimination de celles qui ne te servent pas.

Difficile de comprendre ton $\partial_1^2$ : est-ce un carré ? une dérivée seconde ?
La dérivée partielle à chercher est "deux fois par rapport à la première variable" soit $\partial_{1,1}$ selon mes notations et effectivement elle devrait apparaître en dérivant deux fois par rapport à $s$.