Bonjour,
J'ai du mal à comprendre le principe de sommation par paquets. Je connais le théorème, mais je n'arrive pas à me le représenter, du moins à comprendre exactement en quoi il consiste.
Merci de m'éclaircir
On se fixe* une taille des paquets : c'est à dire un nombre de termes à rassembler (comme l'associativité).
On démontre que la série converge encore et vers la même somme.
Mais ai-je avancé dans la compréhension ?
Edit : la réciproque est fausse, par exemple
Pour tout entier $n$, $u_n=(-1)^n$.
On pose pour tout entier $m$ , $v_m=(-1)^{2m}+(-1)^{2m+1}$, c'est un paquet de taille 2.
Alors la série $\sum v_m$ converge (c'est la série des paquets) mais la série $\sum u_n$ diverge.
Mais par exemple dans l'exemple ci-joint, je ne comprends pas trop le passage (on pose k=m+n) et A_k = { (m,n)€N*^2 tq m+n=k}, qui contient k-1 éléments.
En fait je suis un peu perdu dans les sommes, pourquoi on multiplie par le cardinal de $A_k$ ?
Pour tout couple \((m,n)\) appartient à \(A_k\) :
\[\frac{1}{(m+n)^\alpha}=\frac{1}{k^\alpha}.\]
Puisque l'on additionne des termes qui ont tous même valeur:
\[\sum_{rm,n)\in A_k}\frac{1}{(m+n)^\alpha}=\frac{\mathrm{Card}(A_k)}{k^\alpha}.\]
Réponses
On démontre que la série converge encore et vers la même somme.
Mais ai-je avancé dans la compréhension ?
Edit : la réciproque est fausse, par exemple
Pour tout entier $n$, $u_n=(-1)^n$.
On pose pour tout entier $m$ , $v_m=(-1)^{2m}+(-1)^{2m+1}$, c'est un paquet de taille 2.
Alors la série $\sum v_m$ converge (c'est la série des paquets) mais la série $\sum u_n$ diverge.
*on peut ne pas la fixer, cela dit
Mais par exemple dans l'exemple ci-joint, je ne comprends pas trop le passage (on pose k=m+n) et A_k = { (m,n)€N*^2 tq m+n=k}, qui contient k-1 éléments.
En fait je suis un peu perdu dans les sommes, pourquoi on multiplie par le cardinal de $A_k$ ?
Pour tout couple \((m,n)\) appartient à \(A_k\) :
\[\frac{1}{(m+n)^\alpha}=\frac{1}{k^\alpha}.\]
Puisque l'on additionne des termes qui ont tous même valeur:
\[\sum_{rm,n)\in A_k}\frac{1}{(m+n)^\alpha}=\frac{\mathrm{Card}(A_k)}{k^\alpha}.\]
Merci à tous