Fonction qui minimise une intégrale

Bonjour

Je cherche la (/une) fonction $f$ qui minimise l'intégrale $\displaystyle \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{1+f'(x)^{2}}{f(0)-f(x)}} \,dx.$
Pour le contexte, il s’agit de trouver la forme d'un toboggan qui démarre en $\big(0,f(0)\big)$ et termine en $(0,a)$ qui minimise le temps de descente. (On cherche donc une fonction "sympathique" c'est-à-dire que l'on peut la supposer $C^{\infty}$ notamment).

Merci d'avance.