Problème de Cauchy

Bonjour,
j'ai le problème de Cauchy suivant
\begin{align*}
y'= |y|^{1/2} sgn(y)&=f(x,y)\\
y(0)&=0
\end{align*} où $sgn(y)$ est la fonction signe.
Dans le corrigé je lis que la fonction $f$ est continue sur l'ensemble $\{(x,y)\mid 0 \leq x < +\infty,\ |y| < +\infty\}$.
Ma question est que moi je pense que $f$ est définie pour tout $x \in \R$ et pour tout $y \in \R$. Pourquoi dans le corrigé il est dit que $f$ est continue sur $\{(x,y)\mid 0 \leq x < +\infty,\ |y| < +\infty\}$ au lieu de $\R \times \R$ ?
Merci d'avance.