Difficile de lire, mais manifestement il y a un problème : la dérivée d'un produit de 10 termes (contenant p) est une somme de 10 produits.
Tu dis :
$ f(p) =e^{-x} \prod_{k=1}^{10} e^y \frac{\ln(p^k)}k \times p $ (j'ai repris exactement ce que tu as écrit)
Tu peux déjà simplifier cette expression, sortir les $e^y$ du produit et simplifier la fraction.
Tu veux dire [f(p) =e^{-x} \prod_{k=1}^{10} e^y \frac{\ln(p^k)}{k}\times p\;?\] \begin{align*}
f '(p) &= e^{-x} \prod_{k=1}^{10} e^y \left[ \frac{\ln(p^k)}{k} + \frac{kp}{k} \times p^kp\right]\\
&= e^{-x} \prod_{k=1}^{10} e^y \left[ \frac{\ln(p^k)}{k} + \frac{p^2}p\times k\right.\end{align*}
Je ne crois pas...
Ton expression est bien étrange :
si tu écris a/bc, on comprend $\frac{a}{b}\times c$ et pas $\frac{a}{bc}$, qui est peut-être ce que tu veux dire ; il faudrait alors écrire a/(bc) ;
on peut factoriser $e^{y}$ donc ça ne dépend ni de $x$, ni de $y$ : pourquoi est-ce qu'ils ne sont pas au même endroit ?
si on se rappelle que $\ln(p^k)=k\ln p$, on voit que les facteurs du produit sont tous égaux, l'écriture n'est pas trop bonne ;
la dérivation est fausse :
– la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées ;
– la dérivée de chaque facteur semble fausse, quelle que soit l'écriture dudit facteur.
NB : Pour écrire des formules, utilise $\rm\LaTeX$ : il suffit d'encadrer tes formules de dollars et de remplacer ey par e^y, etc.
@gerard0 pourquoi tu dis çà, j'essaye de lire de cours
et j'essaye de faire çà mon problème le produit d'exponentiel
$e^{nln(x)}=x^n$ mais si je considère $x= p^k $ et $n=yp/k $
donc $ e^{nln(x)}$ =$ (p^k)^{yp/k}$= $p^{yp}$
et par la suite $\displaystyle f(p) = e^{-x} \prod_{k=1}^{10} e^{ y (\ln(p^k)/k )p } $ = $e^{-x} p^{yp}$
je pense qu'il existe une erreur et la simplification est fausse.
Si tu ne sais pas ce que sont $x$ et $y$, je ne sais pas bien qui pourrait le savoir.
Dans ta simplification, tu te retrouves avec un produit de 10 facteurs tous égaux à $e^{yp\ln p}$. Évidemment, ce produit n'est pas égal à $e^{yp\ln p}$ (qui lui, vaut en effet $p^{yp}$).
Sans indiscrétion, d'où vient ce calcul ? Comment es-tu tombé sur une expression aussi compliquée pour une quantité aussi simple ?
Ah bon ! Maintenant, au lieu d'avoir deux symboles non définis ($x$ et $y$), on en a cinq ($\lambda$, $\lambda_h$, $\pi(?)$, $R$ et $R_h$). Le mystère s'épaissit...
Mais surtout, ce qui reste anti-clair, c'est cette expression si compliquée qui se simplifie (mais pas comme tu l'as fait).
@Math Coss
$ \lambda_h =2e^{-5}$
$ \lambda=2e^{-4}$
pi= 3.1416
$ R_h= 67.92$
$R= 62.12$ Est-ce qu'Il y a une autre manière pour la simplification de $f(p)$ ? Merci d'avance.
C'est de la physique alors ?
Autre que quoi ?
On a : $\displaystyle e^{ y p(\ln(p^k)/k ) }=e^{yp\ln p}$ donc $\displaystyle f(p) = e^{-x} \prod_{k=1}^{10} e^{ y (\ln(p^k)/k )p }=e^{-x}\prod_{k=1}^{10}e^{yp\ln p}=e^{-x}\bigl(e^{yp\ln p} \bigr)^{10}$.
Pour étudier les variations de $f$, il est plus commode d'étudier celles de $\frac1{10}\ln f$ (comme $u\mapsto \frac1{10}\ln u$ est strictement croissante, ce sont les mêmes).
Réponses
Difficile de lire, mais manifestement il y a un problème : la dérivée d'un produit de 10 termes (contenant p) est une somme de 10 produits.
Tu dis :
$ f(p) =e^{-x} \prod_{k=1}^{10} e^y \frac{\ln(p^k)}k \times p $ (j'ai repris exactement ce que tu as écrit)
Tu peux déjà simplifier cette expression, sortir les $e^y$ du produit et simplifier la fraction.
Cordialement
f '(p) &= e^{-x} \prod_{k=1}^{10} e^y \left[ \frac{\ln(p^k)}{k} + \frac{kp}{k} \times p^kp\right]\\
&= e^{-x} \prod_{k=1}^{10} e^y \left[ \frac{\ln(p^k)}{k} + \frac{p^2}p\times k\right.\end{align*}
Je ne crois pas...
Ton expression est bien étrange :
- si tu écris a/bc, on comprend $\frac{a}{b}\times c$ et pas $\frac{a}{bc}$, qui est peut-être ce que tu veux dire ; il faudrait alors écrire a/(bc) ;
- on peut factoriser $e^{y}$ donc ça ne dépend ni de $x$, ni de $y$ : pourquoi est-ce qu'ils ne sont pas au même endroit ?
- si on se rappelle que $\ln(p^k)=k\ln p$, on voit que les facteurs du produit sont tous égaux, l'écriture n'est pas trop bonne ;
- la dérivation est fausse :
NB : Pour écrire des formules, utilise $\rm\LaTeX$ : il suffit d'encadrer tes formules de dollars et de remplacer ey par e^y, etc.– la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées ;
– la dérivée de chaque facteur semble fausse, quelle que soit l'écriture dudit facteur.
je m'excuse pour cette erreur ,j'ai mal écrit l'équation
f(p) =e-x \prod_{k=1}^10 e( y ln(pk)/k *p )
donc je veux dériver cette équation pour montrer qu'elle est décroissante
merci
Nos remarques, à Math Coss et moi, sont toujours aussi valables; cette expression se simplifie très fortement, et alors la dériver est élémentaire.
Revois les cours de terminale sur exponentielles et logarithmes.
NB : Inutile qu'on t'aide si tu n'y mets pas du tien (voir "A lire avant de poster")
j'essaye de faire ça.
$\displaystyle f(p) = e^{-x} \prod_{k=1}^{10} e^{ y (\ln(p^k)/k *)p } $
$\displaystyle f'(p)= e^{-x} \prod_{k=1}^{10} yp / \ln(p^k) e^{ y (\ln(p^k)/k *)p } e^{ y (\ln(p^k)/k) *p }$
car $(f(x) =e^{u(x)}$ alors $f'(x) =u'(x)=e^{u(x)}$
Tu ne veux pas suivre nos conseils, inutile de continuer ... et toi aussi, de continuer à faire des écritures ... fausses.
et j'essaye de faire çà mon problème le produit d'exponentiel
$e^{nln(x)}=x^n$ mais si je considère $x= p^k $ et $n=yp/k $
donc $ e^{nln(x)}$ =$ (p^k)^{yp/k}$= $p^{yp}$
et par la suite $\displaystyle f(p) = e^{-x} \prod_{k=1}^{10} e^{ y (\ln(p^k)/k )p } $ = $e^{-x} p^{yp}$
je pense qu'il existe une erreur et la simplification est fausse.
Dans ta simplification, tu te retrouves avec un produit de 10 facteurs tous égaux à $e^{yp\ln p}$. Évidemment, ce produit n'est pas égal à $e^{yp\ln p}$ (qui lui, vaut en effet $p^{yp}$).
Sans indiscrétion, d'où vient ce calcul ? Comment es-tu tombé sur une expression aussi compliquée pour une quantité aussi simple ?
$\displaystyle y= e^{ - \lambda pi (R^2)}$
Mais surtout, ce qui reste anti-clair, c'est cette expression si compliquée qui se simplifie (mais pas comme tu l'as fait).
$ \lambda_h =2e^{-5}$
$ \lambda=2e^{-4}$
pi= 3.1416
$ R_h= 67.92$
$R= 62.12$
Est-ce qu'Il y a une autre manière pour la simplification de $f(p)$ ?
Merci d'avance.
Autre que quoi ?
On a : $\displaystyle e^{ y p(\ln(p^k)/k ) }=e^{yp\ln p}$ donc $\displaystyle f(p) = e^{-x} \prod_{k=1}^{10} e^{ y (\ln(p^k)/k )p }=e^{-x}\prod_{k=1}^{10}e^{yp\ln p}=e^{-x}\bigl(e^{yp\ln p} \bigr)^{10}$.
Pour étudier les variations de $f$, il est plus commode d'étudier celles de $\frac1{10}\ln f$ (comme $u\mapsto \frac1{10}\ln u$ est strictement croissante, ce sont les mêmes).