Équivalent d'une suite définie implicitement

Bonsoir,
Je suis élève en PC et je bloque en ce moment sur un exercice d'analyse issu de la RMS 2018.

Voici l'énoncé :
Soit $f : x \mapsto \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{t^x}{\cosh t}dt$
1) Montrer que $f$ est définie et est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb R_{+}$.
2) Calculer $f(0)$.
3) Soit $n \geq 2$ un entier naturel, montrer que l'équation $f(x)=n$ admet une unique solution notée $x_n$.
4) Déterminer la limite de $(x_n)$, puis la limite de $\Big(\dfrac{x_n}{\ln(n)}\Big)$.

Pour la première question, il suffit d'utiliser le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètre.
Ensuite, $f(0)=\pi - 2\arctan(e)$ (une primitive de $x\mapsto 1/\cosh x$ est $x\mapsto 2\arctan(e^x)$).

Pour la 3), j'ai montré que $f$ est strictement croissante sur son domaine de définition. Sachant qu'elle est également continue, on peut appliquer le théorème de la bijection réciproque et en déduire que $f$ est bijective de $[0, +\infty[$ dans $[f(0), +\infty[$ (il faut au préalable montrer que $f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$, ça se fait facilement).
L'équation $f(x)=n$ a donc une unique solution pour tout entier naturel $n \geq 2$ qu'on note $x_n$.

Enfin, la quatrième question est celle qui me pose problème.
On a $x_n=f^{-1}(n),\ \forall n \geq 2$.
$f^{-1}$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ comme fonction réciproque de $f$, donc $\lim\limits_{n\to +\infty} x_n=+\infty$.

En revanche je n'ai pas vraiment d'idée pour déterminer la limite de $(\frac{x_n}{\ln (n)})$. C'est probablement 1 (ou bien un réel strictement positif), mais je ne vois pas par où démarrer.
J'ai déjà fait des exercices sur la détermination d'équivalents de suites définies implicitement, mais jamais avec une suite définie comme solution d'une équation impliquant une intégrale (impropre, qui plus est...).

Un peu d'aide serait la bienvenue, merci d'avance !