Équivalent d'une suite définie implicitement
Bonsoir,
Je suis élève en PC et je bloque en ce moment sur un exercice d'analyse issu de la RMS 2018.
Voici l'énoncé :
Soit $f : x \mapsto \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{t^x}{\cosh t}dt$
1) Montrer que $f$ est définie et est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb R_{+}$.
2) Calculer $f(0)$.
3) Soit $n \geq 2$ un entier naturel, montrer que l'équation $f(x)=n$ admet une unique solution notée $x_n$.
4) Déterminer la limite de $(x_n)$, puis la limite de $\Big(\dfrac{x_n}{\ln(n)}\Big)$.
Pour la première question, il suffit d'utiliser le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètre.
Ensuite, $f(0)=\pi - 2\arctan(e)$ (une primitive de $x\mapsto 1/\cosh x$ est $x\mapsto 2\arctan(e^x)$).
Pour la 3), j'ai montré que $f$ est strictement croissante sur son domaine de définition. Sachant qu'elle est également continue, on peut appliquer le théorème de la bijection réciproque et en déduire que $f$ est bijective de $[0, +\infty[$ dans $[f(0), +\infty[$ (il faut au préalable montrer que $f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$, ça se fait facilement).
L'équation $f(x)=n$ a donc une unique solution pour tout entier naturel $n \geq 2$ qu'on note $x_n$.
Enfin, la quatrième question est celle qui me pose problème.
On a $x_n=f^{-1}(n),\ \forall n \geq 2$.
$f^{-1}$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ comme fonction réciproque de $f$, donc $\lim\limits_{n\to +\infty} x_n=+\infty$.
En revanche je n'ai pas vraiment d'idée pour déterminer la limite de $(\frac{x_n}{\ln (n)})$. C'est probablement 1 (ou bien un réel strictement positif), mais je ne vois pas par où démarrer.
J'ai déjà fait des exercices sur la détermination d'équivalents de suites définies implicitement, mais jamais avec une suite définie comme solution d'une équation impliquant une intégrale (impropre, qui plus est...).
Un peu d'aide serait la bienvenue, merci d'avance !
Je suis élève en PC et je bloque en ce moment sur un exercice d'analyse issu de la RMS 2018.
Voici l'énoncé :
Soit $f : x \mapsto \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{t^x}{\cosh t}dt$
1) Montrer que $f$ est définie et est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb R_{+}$.
2) Calculer $f(0)$.
3) Soit $n \geq 2$ un entier naturel, montrer que l'équation $f(x)=n$ admet une unique solution notée $x_n$.
4) Déterminer la limite de $(x_n)$, puis la limite de $\Big(\dfrac{x_n}{\ln(n)}\Big)$.
Pour la première question, il suffit d'utiliser le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètre.
Ensuite, $f(0)=\pi - 2\arctan(e)$ (une primitive de $x\mapsto 1/\cosh x$ est $x\mapsto 2\arctan(e^x)$).
Pour la 3), j'ai montré que $f$ est strictement croissante sur son domaine de définition. Sachant qu'elle est également continue, on peut appliquer le théorème de la bijection réciproque et en déduire que $f$ est bijective de $[0, +\infty[$ dans $[f(0), +\infty[$ (il faut au préalable montrer que $f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$, ça se fait facilement).
L'équation $f(x)=n$ a donc une unique solution pour tout entier naturel $n \geq 2$ qu'on note $x_n$.
Enfin, la quatrième question est celle qui me pose problème.
On a $x_n=f^{-1}(n),\ \forall n \geq 2$.
$f^{-1}$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ comme fonction réciproque de $f$, donc $\lim\limits_{n\to +\infty} x_n=+\infty$.
En revanche je n'ai pas vraiment d'idée pour déterminer la limite de $(\frac{x_n}{\ln (n)})$. C'est probablement 1 (ou bien un réel strictement positif), mais je ne vois pas par où démarrer.
J'ai déjà fait des exercices sur la détermination d'équivalents de suites définies implicitement, mais jamais avec une suite définie comme solution d'une équation impliquant une intégrale (impropre, qui plus est...).
Un peu d'aide serait la bienvenue, merci d'avance !
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Réponses
Mazette ! Il est tard : une idée....
Si on écrit $x_{n+1}-x_n=f^{(-1)}(n+1)-f^{(-1)}(n)$ et qu’on démontre que le membre de droite est équivalent à $1/n$ alors, par sommation, on arrive au résultat...(a un coefficient multiplicateur près).
Pour la démonstration un développement de Taylor ou le théorème des valeurs intermédiaires avec la formule qui donne la dérivée de la fonction réciproque...
Après, on diverge. Dans $f(x)$, je simplifie en faisant comme si l'intégrale partait de $0$ au lieu de $1$ et je remplace $\cosh t$ par $\frac12\mathrm{e}^t$, l'équation $f(x)=n$ ressemble fort à $\Gamma(x+1)=\frac{n}{2}$. Après, pour $n$ grand, je m'attendrais donc grâce à la formule de Stirling à ce que $\ln n\sim\ln f(x_n)\sim\ln\Gamma(x_n+1)\sim(x_n+1)\ln(x_n+1)\sim x_n\ln x_n$ et ça suggérerait que $x_n/\ln n$ tend vers $1$. Il n'y a plus qu'à justifier...
\frac{x(s)-x(0)}{s}=\frac{1}{s}\int_0^s x'(u)du\ \xrightarrow[s\to \infty]{}0.$$ En particulier puisque $x_n=x(\log n)$ on a $ x_n/\log n\to 0.$
Par convergence monotone, $f$ tend vers l'infini en l'infini (il en résulte que $(x_n)$ aussi). Pour $t\in\left]0,1\right[$, on a $t^x\le1$ donc $\int_0^1\frac{t^x}{\cosh t}\mathrm{d}t\le1$. Par suite, $f(x)\sim\int_0^{+\infty}\frac{t^x}{\cosh t}\mathrm{d}t$.
Ensuite, \[f(x)-2\Gamma(x+1)=\int_0^{+\infty}\frac{-2t^x}{\mathrm{e}^{3t}+\mathrm{e}^{t}}\mathrm{d}t\quad\text{et}\
\left|\int_0^{+\infty}\frac{-2t^x}{\mathrm{e}^{3t}+\mathrm{e}^{t}}\mathrm{d}t\right|\le
\frac{2}{3^{x+1}}\Gamma(x+1)\]donc $f(x)\sim\Gamma(x+1)$.
On en déduit que $n\sim f(x_n)\sim\Gamma(x_n+1)$ donc, par une propriété classique du logarithme (il préserve les équivalents infinis) et la formule de Stirling, $\ln n\sim \ln \Gamma(x_{n+1})\sim x_n\ln(x_n)$ et il vient : $\dfrac{x_n}{\ln n}\sim\dfrac{1}{\ln x_n}$ qui tend vers $0$, et pas vers $1$ comme je l'ai dit hier soir.
Edit: ajout d'un maillon logarithmique dans « la chaîne d'équivalents ».
Très belle solution P. Ça me semble tout de même très technique. ll ne m'était pas si évident que $k'$ était croissante mais il fallait pour cela remarquer que $k''$ était positive en vertu de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. L'idée de poser une nouvelle fonction $x$ est également très bien pensée...
Par rapport à votre réponse Math Coss, je crois qu'il y a une petite coquille sur l'enchaînement des équivalents, sinon ça me semble bon. Par contre je ne pense pas qu'on puisse ressortir comme cela l'équivalent de $\log \Gamma$ (même s'il s'agit juste de la formule de Stirling généralisée) dans un oral sans la prouver...
un petit souci sur $f(0)$. Ce n'est pas $\pi-2\arctan(e)$ mais $\pi-2\arctan(1)=\pi/2$.
Quant à la limite de $x_n/\log(n)$, si on pense que cela tend vers $0$, alors on évalue $ f(\epsilon\,\log(n) )$ pour voir, en remplaçant $f$ par son approximation $\Gamma$, comme l'a suggéré Math Coss.
Dans ce cas précis, l'exercice me semble plutôt difficile et la version faible de la formule de Stirling ne me semble pas disproportionnée. La méthode de P. est très élégante et reste dans le programme mais il faut soit être inspirée, soit la connaître (et elle n'est pas dans le programme).
La justification de l'équivalent de $\ln(n!)=\sum_{k=1}^n\ln k$ est très rapide via une comparaison avec l'intégrale $\sum_{k=1}^n\int_k^{k+1}\ln(t)\mathrm{d}t$ ; puis, pour $x$ réel, l'encadrement $\lfloor x\rfloor\le x<\lfloor x\rfloor+1$ permet de conclure. C'est beaucoup plus facile que l'équivalent de $n!$ (c'en est éventuellement la première étape).
Par ailleurs, si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont équivalentes et divergent vers l'infini, $\ln u_n=\ln v_n+\ln\frac{u_n}{v_n}\sim\ln v_n$ puisque $\ln v_n$ diverge vers l'infini quand $\ln\frac{u_n}{v_n}$ tend vers zéro.