Majoration des coefficients d'un polynôme
Bonjour à tous
Je sollicite l'aide des membres du forum pour un exercice que je n'arrive pas à résoudre.
On considère un polynôme de degré $n$ que l'on note $P=\sum_{k=0}^{n} a_{k}X^{k}$.
On note $M$ le sup de $P$ sur le cercle unité.
Il semblerait alors que tous les $|a_{k}|$ soient majorés par $M$.
Je précise qu'il y a une indication (que j'arrive à démontrer mais pas à utiliser) : en notant $\omega_{k}=e^{i\frac{2k\pi}{n+1}}$, on a, pour tout $j \in [0,n]$ : $$
\left| \sum_{k=0}^{n} \omega_{k}^{-j} P(\omega_{k}) \right| \leq (n+1)M
$$ Merci par avance à ceux qui pourront m'aider.
Bonne journée,
$\alpha$-Nico
Je sollicite l'aide des membres du forum pour un exercice que je n'arrive pas à résoudre.
On considère un polynôme de degré $n$ que l'on note $P=\sum_{k=0}^{n} a_{k}X^{k}$.
On note $M$ le sup de $P$ sur le cercle unité.
Il semblerait alors que tous les $|a_{k}|$ soient majorés par $M$.
Je précise qu'il y a une indication (que j'arrive à démontrer mais pas à utiliser) : en notant $\omega_{k}=e^{i\frac{2k\pi}{n+1}}$, on a, pour tout $j \in [0,n]$ : $$
\left| \sum_{k=0}^{n} \omega_{k}^{-j} P(\omega_{k}) \right| \leq (n+1)M
$$ Merci par avance à ceux qui pourront m'aider.
Bonne journée,
$\alpha$-Nico
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Réponses
$\int_0^{2\pi} P(e^{i\theta})e^{-ik\theta}d\theta = 2\pi a_k$
Je me permets de relancer ce sujet, ayant une question dans la continuité de celle de l'auteur...
Je bloque sur un exercice des oraux ENS PC issu de la RMS, dont voici l'énoncé.
Soit $P=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_{k}X^{k}$, on note $M$ le $\sup$ de $P$ en module sur le cercle unité.
(a) Soit $k \in \mathbb Z$. Calculer $\displaystyle \int_0^{2\pi} e^{-ikt}P(e^{it}) dt$.
(b) Soit $j \in \mathbb N,\ 0 \leq j \leq n$. Montrer que $M \geq |a_{j}|$.
(c) Montrer que $M \geq |a_{0}| + |a_{n}|$.
(d) Soit $(i,j) \in \mathbb N^2$ avec $0 \leq i < j \leq n$. Montrer que $M \geq |a_{i}| + |a_{j}|$.
Pas de problème pour les deux premières questions.
En revanche je n'arrive pas à résoudre la question (c). Je n'ai pas l'impression que les deux questions précédentes servent, il faut s'y prendre autrement, mais comment ?
Merci d'avance de votre aide (un petit indice suffirait, si c'est possible !)
J'arrive à voir que $ \int_0^{2\pi} |1+e^{-in\theta}|d\theta = \int_0^{2\pi} |2\cos(\frac n2 \theta)|d\theta =\frac 4n\int_0^{n\pi} |\cos( \theta)|d\theta $ est majoré par 8 mais je n'arrive pas à le majorer par $2\pi$
Edit : J'ai corrigé la formule... Merci! ^^
$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\omega_{k}P(\lambda \omega_{k}) = \sum_{k=0}^{n}\omega_{k} \sum_{l=0}^{n}a_l (\lambda \omega_{k})^l = \sum_{k=0}^{n} \sum_{l=0}^{n}a_l \lambda^l \omega_{k}^{l+1} = \sum_{l=0}^{n}a_l \lambda^l \sum_{k=0}^{n}\omega_{k}^{l+1}$
Pour $l$ entier entre $0$ et $n-1$, $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\omega_{k}^{l+1} = 0$ et pour $l=n$, cette somme vaut $n+1$.
Finalement, la somme de départ vaudrait donc $(n+1)a_n \lambda^n$...
Je ne trouve pas $\Big\vert \sum_{k=0}^{n}P(\lambda \omega_{k}) \Big\vert =(n+1)\vert a_{0} +\lambda^{n}a_{n} \vert.$ mais seukement $=(n+1)\vert a_{0} \vert$
Je trouve cette question difficile
où $\omega$ est une racine primitive $n$-ième de l'unité (avec $n\geq 1$).
On a alors effectivement (avec mes notations) pour tout $\lambda\in \mathbb{U},$ $$\Big\vert \sum_{k=0}^{n-1}P(\lambda \omega^{k}) \Big\vert =n \Big\vert a_{0}+ \lambda^{n} a_{n} \Big\vert.$$
Cette inégalité implique l'équi-oscillation des polynômes de Tchebytchev. Ce sont d'ailleurs eux, à des rotations près, qui réalisent et caractérisent le cas d'égalité.
Une preuve de ce fait est donné dans l'exercice ci-joint.
on utilise le cas de l'égalité dans une inégalité triangulaire: On choisit $\lambda$ tel que $\lambda^n=\frac{a_0}{a_n} |\frac{a_n}{a_0}|$ d'où $a_0=\lambda ^n a_n |\frac{a_0}{a_n} |$ donc $|a_0+\lambda^n a_n|=|a_0|+|\lambda^n a_n|=|a_0|+|\lambda^n|| a_n|=|a_0|+|a_n|$
Ce qui me dérange quand même, c'est que l'intégrale de départ ne nous sert plus. Dans le cadre d'un oral il me semble très difficile de penser à la somme de BobbyJoe sans indication de l'examinateur, et même si on y pensait, ça n'a pas beaucoup de sens de commencer l'exercice par le calcul de l'intégrale, autant nous donner directement la somme de départ d'Alpha-Nico...
Y a-t-il un moyen d'adapter cette technique sommatoire avec l'intégrale ?