Décomposition en éléments simples

ccapucine · June 2018

Bonjour, je souhaite décomposer en éléments simples la fraction $$
Y(s)= \dfrac{s^2}{(s^2+2)(s^2+12)}
$$ Alors on a $$
\dfrac{s^2}{(s^2+2)(s^2+12)}= \dfrac{As+B}{s^2 +12} + \dfrac{Cs+D}{s^2+2}
$$ Je trouve la solution suivante: on multiplie les deux membres par $s^2+12$ et on pose $s^2=-12$ et on trouve $As +B = \dfrac{6}{2}$.
Puis on multiplie les deux membres par $s^2+2$ et on pose $s^2=-2$ et on trouve $Cs+D=-\dfrac{1}{5}$.
Ainsi $$
Y(s)= \dfrac{6/5}{s^2+12}+ \dfrac{-1/5}{s^2+2}
$$ Je ne comprends pas quel sens a l'égalité $As+B=\dfrac{6}{2}$ il ne devrait pas y avoir un $s$ à gauche.
Merci par avance.

zephir · June 2018

Bonsoir,
Au numérateur, on peut dire à priori qu'il n'y a pas de termes en "s". Pourquoi ?

ccapucine · June 2018

Je ne sais pas pourquoi. Il me semble que la règle dit que si le dénominateur est d'ordre 2 alors le numérateur doit être d'ordre 1 comme dans mon exemple.

gerard0 · June 2018

Soit S=s²; Y(s)= ... = Z(S)

Cordialement.

ccapucine · June 2018

C'est compris. Merci! :-)

Math Coss · June 2018

Avec quelques mots : parité de la fraction + unicité de la décomposition en éléments simples.

gebrane · June 2018

Bib a posée une question précise "Je ne comprends pas quel sens a l'égalité $As+B=\frac 65$ il ne devrait pas y avoir un s à gauche."
Pour comprendre, on change le raisonnement par : on multiplie les deux membres par $s^2+12$ et on pose $s=\sqrt{12}i$ et on trouve $$A\sqrt{12}i+B=\frac 65 $$ c'est une égalité entre deux complexe, on trouve A=? et B=?

ccapucine · June 2018

Bonjour,
j'ai le système suivant
$$
\begin{cases}
(s-3) Y_1(s) + Y_2(s)= -\dfrac{1}{s}\\
-4 Y_1(s)+ (2-s) Y_2(s)= \dfrac{3-s^2}{s^2}
\end{cases}
$$
En utilisant Cramer, on obtient (sauf erreur de ma part):
$
Y_1(s)= \dfrac{2s^2 - 2s -3}{-s^4 +5 s^3 -2 s^2}
$et$
Y_2(s)= \dfrac{-s^3 +3s^2 +3s -5}{-s^6+5 s^5-2 s^4}
$
Comment on peut décomposer $Y_1(s)$ et $Y_2(s)$ en éléments simples?

nicolas.patrois · June 2018

$Y_1$ et $Y_2$ ont déjà un pôle évident, les deux autres ne sont pas difficiles à trouver.

ccapucine · June 2018

oui certes, on a $-s^4+5s^3-2s^2= s(-s^3+5s^2-2)$. Il reste à trouver les deux poles de $-s^3+e5s^2-2$ et c'est ce qui me pose difficulté car d'habitude en regarde les diviseurs de 2 pour trouver un pôle mais là aucun d'eux ne l'est. Quelle méthode utiliser pour trouver ces deux pôle?

Math Coss · June 2018

C'est bien approximatif, cette égalité : $-s^4+5s^3-2s^2= s(-s^3+5s^2-2)$.

ccapucine · June 2018

Effectivement. $-s^4 +5 s^3 -2 s^2= s^2(-s^2+5s-2)= s^2(s-\dfrac{5+\sqrt{17}}{2})(s- \dfrac{-5+\sqrt{17}}{2})$. Je trouve ces racines bizarres. Pouvez vous me dire si mon calcul de $Y_1$ et $Y_2$ solutions du système est bien correct?

Math Coss · June 2018

Il y a un nombre conséquent d'erreurs de signes dans la résolution de l'équation de degré $2$. Bizarre que le produit des racines que tu trouves, à savoir $\frac{\pm5+\sqrt{17}}2$, ne soit pas un entier, non ? Bizarre que le coefficient dominant (de $s^2$) passe de $-1$ à gauche à $1$ à droite.

Il y a aussi deux erreur dans le calcul de $Y_2(s)$ plus haut. Le dénominateur des deux solutions devrait être le même et la moitié des coefficients du numérateur sont faux.

ccapucine · June 2018

Pour $Y_2(s)= \dfrac{s^3-3s^2-7s+9}{s^2(-s^2+5s-2)}$.
pour la résolution de $-s^2 +5s -2$ on trouve deux racines $s_1=\dfrac{5+\sqrt{33}}{2}$ et $s_2= \dfrac{5-\sqrt{33}}{2}$. C'est mieux ainsi?

Math Coss · June 2018

C'est mieux au sens où le produit et la somme des racines sont des entiers mais $5^2-4\times(-1)\times(-2)$ ça ne fait pas $33$.
Le coefficient de $s$ au numérateur me semble faux également.

ccapucine · June 2018

J'ai bien pris le temps de me concentrer et de refaire tous les calculs. En fait j'avais fait fait même une erreur de signe dans le système (que j'avais calculé moi même en appliquant Laplace à un système d'équation).
Voici le système que j'ai:
$$
\begin{cases}
(s-3)Y_1(s)+Y_2(s)= -\dfrac{1}{s}\\
4 Y_1(s)-(s+2)Y_2(s)= \dfrac{3-s^2}{s^2}
\end{cases}
$$
En utilisant Cramer, on trouve (sauf erreur):
$Y_1(s)= \dfrac{2s^2 +2s -3}{s^2(-s^2+s+2)}$ et $Y_2(s)= \dfrac{-s^3+3s^2+7s-9}{s^2(-s^2+s+2)}$.
Je souhaite maintenant décomposer $Y_1$ et $Y_2$ en éléments simples. Pour $Y_1(s)$ j'obtiens ceci:
$$
Y_1(s)= \dfrac{2s^2+2s-3}{s^2(s-2)(s+1)}= \dfrac{A}{s^2}+ \dfrac{B}{s-2}+\dfrac{C}{s+1}= \dfrac{3/2}{s^2}+\dfrac{3/4}{s-2}+\dfrac{1}{s+1}.
$$
Le souci est que quand on ce dernier résultat nous donne un numérateur de degré 3 or que le numérateur est de degré 2.:-S

GaBuZoMeu · June 2018

J'ai juste regardé ton dernier message, et j'ai relevé que quand tu poses la décomposition en éléments simples, tu oublies le terme en $\dfrac1s$.

ev · June 2018

Il te manque un terme en $ \dfrac{A'}s $ a priori.

e.v.

Math Coss · June 2018

Il y a aussi (encore) une incohérence de signe entre la première expression de $Y_1(s)$ et la deuxième...

ccapucine · June 2018

Je ne comprend pas pourquoi il manque le terme en $\dfrac{1}{s}$. Par Cramer on a
$$
Y_1(s)
=
\dfrac{
\left|
\begin{array}
-\dfrac{1}{s}& 1\\
\dfrac{3-s^2}{s^2} &-(s+2)
\end{array}
\right|
}
{
\left|
\begin{array}
(s-3)& 1\\
4 &-(s+2)
\end{array}
\right|
}
=
\dfrac{\dfrac{s+2}{s}- \dfrac{(3-s^2)}{s^2}}{-(s-3)(s+2)-4}
=
\dfrac{2s^2+2s-3}{s^2(-s^2+s+2)}.
$$
Qu'est ce qui n'est pas correct dans mes calculs?

ev · June 2018

Ton pôle est d'ordre 2 en zéro. La partie polaireen zéro s'écrit a priori
$ \dfrac{A}{s^2} + \dfrac{A'}{s} $.

e.v.

ccapucine · June 2018

Merci e.v et quand est-ce qu'on sait si dans la décomposition en éléments simples on pose au numérateur $A$ ou $As+B$?

GaBuZoMeu · June 2018

Un petit morceau de cours sur la décomposition en éléments simples. Je pense que tu en as besoin.

Math Coss · June 2018

Ça, c'est OK. On voit que lorsque $s$ tend vers l'infini, $Y_1(s)\sim -\frac2{s^2}$. L'erreur de signe est dans l'étape suivante : dans la deuxième formule centrée de ce message, $Y_1(s)\sim\frac{2}{s^2}$.

ccapucine · June 2018

Oui c'est vrai Math Coss. Il faut écrire
$$
Y_1(s)= \dfrac{2 s^2 +2s -3}{-s^2(s-2)(s+1)}= \dfrac{-A}{s^2}+\dfrac{B}{s}+\dfrac{C}{s-2}+\dfrac{D}{s+1}
$$
j'ai un doute si on mets un signe '-' devant $B$.

GaBuZoMeu · June 2018

Non, il ne "faut" pas. Ça n'a aucun intérêt, vu que les nombres $A,B,C,D$ sont à déterminer.
Je t'ai envoyé un bout de cours, l'as-tu regardé ?

ccapucine · June 2018

Oui j'ai lu le cours et je ne comprends pas la décomposition en éléments simples de deuxième espèce. Quand est-ce qu'on l'a fait ?

GaBuZoMeu · June 2018

Comme expliqué dans le cours, les éléments simples de deuxième espèces interviennent quand on fait une décomposition en éléments simples sur $\mathbb R$. Ils correspondent aux facteurs irréductibles (sur $\mathbb R$) de degré 2 du dénominateur de la fraction réduite.
Qu'y a-t-il qui bloque ta compréhension ?

ccapucine · June 2018

Si on a une fraction de la forme par exemple $\dfrac{P(x)}{(x-a)^{\alpha_1}(x-b)^{\alpha_2}}$ alors en utilise la décomposition en éléments simple de première espèce.
Par contre je ne comprends pas quand il faut utiliser la décomposition de deuxième espèce. Quelle forme doit avoir la fraction ?

gebrane · June 2018

.

ccapucine · June 2018

On utilise la décomposition de deuxième espèce si le dénominateur est de la forme $(x^2 - \beta x +\gamma)^m$. (tu)
Pour $T$ qui est la partie entière entière du quotient, elle vaut 0. Il y a un exemple où elle ne vaut pas 0 ?

gebrane · June 2018

Ok, donne moi la forme de la D.E.S sur $\R$ de la fraction $$F(X)=\frac {X^3}{[X^2-3X+2]^2}$$ Il y a un piège, ne tombe pas dedans s.t.p
edit Aussi à remplacer $X^3 $ par $X^4$ ou $X^5$