Théorème de Stone-Weierstrass

Pour construire explicitement une telle suite, tu peux regarder du côté de l'approximation de Bernstein.

Il est important de pouvoir approcher la fonction valeur absolue car on peut alors, en recollant convenablement les morceaux, approcher des fonctions affines par morceaux (c'est-à-dire en "dents de scie") qui elles-même approchent les fonctions continues (voir par exemple ci-dessous), ce qui est primordiale dans la démonstration.

Si on sait approcher une fonction $f$ par une suite de fonctions $g_n$, alors on sait approcher la fonction $f(x-c)$, par la suite $g_n(x-c)$.

Pour ce qui est d'un exemple de suite de polynôme approchant uniformément la fonction valeur absolue, il y a un exemple archi-classique défini par récurrence : $P_0=0$ et pour $n \geq 0$ et $t \in [0, 1], P_{n+1}(t) = P_n(t) + \frac{t - P_n(t)^2}{2}$. Cette suite-là approche la fonction racine, puis il suffit de se rappeler que $|x| = \sqrt{x^2}$ pour tout $x$ réel.

Si $(P_n)_n$ est une suite de polynôme convergeant uniformément vers $x \mapsto |x|$ sur $[a, b]$ alors $(x \mapsto P_n(x-c))_n$ est une suite de polynômes convergeant uniformément vers $x \mapsto |x-c|$ sur $[a+c,b+c]$.

Héhéhé n'a jamais affirmé que son dessin constituait une preuve. Il a cependant affirmé le résultat suivant, que tu peux chercher à démontrer en utilisant la définition de la continuité : si $f$ est continue sur $[a,b]$, il existe une suite de fonctions $(f_n)_n$ affines par morceaux convergeant uniformément vers $f$ sur $[a,b]$. Pour choisir les $f_n$, inspire-toi du dessin justement !

Enfin Stone-Weierstrass et DL ne constitue pas du tout le même type d'approximation : le DL est une approximation locale avec terme d'erreur, Weierstrass donne une approximation uniforme globale (sur le segment).